Question

已知函数f（x）=-√3sin^x+sinxcosx，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期（2）求函数x∈【0，π/2】值域

Answer 1

解：
1，f（x）=-√3sin^2x+sinxcosx
=√3/2*(cos2x-1)+1/2sin2x
=√3/2cos2x+1/2sin2x-√3/2
=cos(2x-π/6)-√3/2，
最小正周期 T=2π/2=π，
2，x∈【0，π/2】，
则2x-π/6∈【-π/6，5π/6】
当2x-π/6=0时，f（x）取最大值1-√3/2，
当2x-π/6=5π/6时，f（x）取最小值-√3。
所以值域为【-√3，1-√3/2】

Answer 2

f（x）=-√3sin^2x+sinxcosx
＝-√3（1-cos2x)/2+1/2sin2x
=-√3/2+1/2(cos2x+sin2x)
=-√3/2+√2/2（√2/2cos2x+√2/2sin2x）
=-√3/2+√2/2sin(π/4+2x)
因此，其周期是π
x∈[0，π/2]
2x＋π/4∈[π/4，5/4π]
－√2/2≤sin(π/4+2x)≤1
－1/2≤√2/2sin(π/4+2x)≤√2/2
－1/2-√3/2≤-√3/2+√2/2sin(π/4+2x)≤√2/2 -√3/2

Answer 3

f(x)=-√3sin^x+sinxcosx
=-(√3/2)(1-cos2x)+(1/2)sin2x
=-(√3/2)+(1/2)(sin2x+√3cos2x)
=sin(2x+π/3)-√3/2
T=2π/2=π
x∈[0，π/2]
2x∈[0，π]
2x+π/3∈[π/3，4π/3]
-√3/2<=sin(2x+π/3)<=1
-√3<=sin(2x+π/3)-√3/2<=1-√3/2
所以f(x)∈[-√3，1-√3/2]

Answer 4

f(x)=-√3(sinx)^2+sinxcosx
=-√3/2*(1-cos2x)+1/2*sin2x
=1/2*sin2x+√3/2*cos2x-√3/2
=sin(2x+π/3)-√3/2
1
最小正周期为 π
2
因为 0≤x≤π/2，所以 π/3≤2x+π/3≤π+π/3
所以 -√3/2≤sin(2x+π/3)≤1
因此，函数的值域是 【-√3，1-√3/2】。