Question

高中数学 已知函数f(x)=负根号3sin^2x+sinxcosx,

设a属于（0，π），f(a/2)=（1/4）-（根号3/2），求sina的值

Answer 1

将x=a/2带入f(x)=负根号3sin^2x+sinxcosx中，
得，-根号3sin^2a/2+sina/2cosa/2=1/4-根号3/2
∵2sina/2cosa/2=sina
1-2sin^a/2=cosa
∴ （根号3-2根号3sin^2a/2）+(2sina/2cosa/2=1/2-根号3+根号3
cosa=(1/2-sina)÷根号3
根据：cos^2a+sin^2a=1 （1）
将cosa=(1/2-sina)÷根号3带入（1）中得
sina= （1-3根号5)÷8
sina=（1+3根号5）÷8
∵sina>0
∴sina=（1+3根号5）÷8

Answer 2

已知函数f(x)=-(√3)sin²x+sinxcosx，设α∈(0，π)，f(a/2)=（1/4）-（√3/2），求sina的值
解：f(x)=-(√3/2)(1-cos2x)+(1/2)sin2x=sin2xcos(π/3)+cos2xsin(π/3)-√3/2=sin(2x+π/3)-√3/2
f(α/2)=sin(α-π/3)-√3/2=(1/4)-(√3/2)
故sin(α-π/3)=1/4，α=π/3+arcsin(1/4)，
∴sinα=sin[π/3+arcsin(1/4)]=sin(π/3)cosarcsin(1/4)+cos(π/3)sinarcsin(1/4)
=(√3/2)√(1-1/16)+(1/2)(1/4)=√45/8+1/8=(3√5+1)/8