Question

又来求救啦！线性代数！ 设a是非齐次线性方程组Ax=b的一个解 ， t1,.....t(n-r) 是对应的齐次线性方程组

的一个基础解系。
证明：
1. a，t1,....t(n-r)线性无关；
2. a, a+t1,..... a+t(n-r) 线性无关

Answer 1

证明: 由已知α1,.....α(n-r)线性无关.
且 Aβ=b≠0, Aαi=0,i=1,2,...,n-r

(1) 设 kβ+k1α1+...+k(n-r)α(n-r)=0
用A左乘上式两边得
kAβ+k1Aα1+...+k(n-r)Aα(n-r)=0
所以有 kAβ = 0, 即有 kb=0
而 b≠0, 所以 k = 0.
代入原式得 k1α1+...+k(n-r)α(n-r)=0
再由α1,.....α(n-r)线性无关得 k1=k2=...=k(n-r)=0
所以 k=k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以 β,α1,...,α(n-r) 线性无关.

(2) 设 kβ+k1(β+α1)+...+k(n-r)(β+α(n-r))=0
[又来了, 老一套哈!]
则 (k+k1+...+k(n-r))β+k1α1+...+k(n-r)α(n-r)=0
由(1),β,α1,...,α(n-r) 线性无关
所以 k+k1+...+k(n-r)=k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以有 k=k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以 β,β+α1,...,β+α(n-r) 线性无关.
[哈, 简单吧. 别看写这多,掌握思路就简单了]

满意请采纳^_^

Answer 2

1.假定他们线性相关，因为(t1,...,t(n-r))线性无关，所以a一定可以由ti线性表述
所以存在不全为0的系数ci满足a=c1 t1 + c2t2 +...+c(n-r)t(n-r)
Aa= c1 At1 +c2At2 +... + c(n-r)At(n-r) =0
但是a是Ax=b的根，所以Aa=b所以矛盾，所以必然线性无关
2。这个由1）可以直接推导出来