Question

98年数学高考题

(本小题满分12分) 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱. 污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出. 设箱体的长度为a米, 高度为b米. 已知流出的水中该杂质的质量分数与a, b的乘积ab成反比. 现有制箱材料60平方米.问当a, b各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小

Answer 1

解法一：设y为流出的水中杂质

的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比

例系数，依题意，即所求的a,b值使y值

最小。 根据题设，有

4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， ……4分

得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/((30a-a2)/(2+a))

　 =k/(-a+32-64/(a+2))

　 =k/(34-(a+2+64/(a+2))

　 ≥k/(34-2)=k/18，

当a+2=64/(a+2)时取等号，

y达最小值。 ……8分

这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6代入①式

得b=3。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀

后流出的水中该杂质的质量分数最小。

……12分

解法二：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。

由题设知

4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)， ……4分

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2，

∴2+ab≤30， 当且仅当a=2b时，上

式取等号。 由a>0，b>0，解得0<ab≤18。

即当a=2b时，ab取得最大值，

其最大值为18。 ……10分

∴2b2=18。解得b=3，a=6。 故当a为6米，

b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质

量分数最小。 ……12分

Answer 2

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y= ，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)， 得 (0＜a＜30＝， ①
于是
当a＋2= 时取等号，y达最小值．
这时a=6，a=－10(舍去)．将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知 4a＋2ab＋2a=60 (a＞0，b＞0)
即 a＋2b＋ab=30 (a＞0，b＞0)．∵ a＋2b≥2 ，∴ 2 ＋ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18．
∴ 2b2=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．