Question

在三角形ABC中，给出下列三个命题：

1.若sin2A=sin2B,则三角形ABC是等腰三角形
2.若sinA=cosB,则三角形ABC是直角三角形
3.若cos(A-B)×cos(B-C)×cos(C-A)=1,则三角形ABC是等边三角形
命题正确的是？ 求解析 谢

Answer 1

1的反例：A=30，B=60
2的反例：A=120，B=30
那么只有3是对的。
cos(A-B)*cos(B-C)*cos(C-A)
=0.5*[cos(A-C)+cos(A+C-2B)]*cos(C-A)
=0.5*cos(A-C)*cos(C-A)+0.5cos(A+C-2B)*cos(C-A)
=0.25cos0+0.25cos(2A-2C)+0.25cos(2C-2B)+0.25cos(2A-2B)=1
得到cos(2A-2C)+cos(2C-2B)+cos(2A-2B)=3，因为余弦值最大值为1，所以在该式中每项都等于1，由于ABC是三角形的内角，所以A=B=C。