Question

若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系，为什么X1+X2，X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系？

Answer 1

基础解系均是线性无关的。
令Y1=X1+X2，Y2=X2-X3，Y3=X1+X2+X3
则X1=2Y1-Y2-Y3，X2=Y2+Y3-Y1，X3=Y3-Y1
由X1、X2、X3线性无关，可知Y1、Y2、Y3也线性无关，故可作方程AX=0的一个基础解系。

Answer 2

证明: (1) 因为齐次线性方程组的解的线性组合仍是解
所以 X1+X2，X2-X3,X1+X2+X3 都是AX=0的解.
(2) 设 k1(X1+X2)+k2(X2-X3)+k3(X1+X2+X3)=0
则 (k1+k3)X1+(k1+k2+k3)X2+(-k2+k3)X3=0.
因为X1,X2,X3为齐次线性方程AX=0的一个基础解系
所以 X1,X2,X3 线性无关.
所以有
k1+k3 = 0
k1+k2+k3 = 0
-k2+k3 = 0
又因为系数行列式 =
1 0 1
1 1 1
0 -1 1
= 1
所以 k1=k2=k3=0.
所以 X1+X2，X2-X3,X1+X2+X3 线性无关.
(3)因为AX=0的基础解系含3个向量
故X1+X2，X2-X3,X1+X2+X3也是AX=0的基础解系.