Question

将函数f(x)=arccosx展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间。

Answer 1

f'(x)=(arccosx)'
=-(1-x^2)^(-1/2)
因为(1-x)^(-1/2)=1+1/2x+1*3/2*4x^2+*******+1*3******(2n-1)/2*4*****2nx^n+********
所以f'(x)=(arccosx)'
=-(1-x^2)^(-1/2) (把上面公式中x换成x^2)
=-(1+1/2x^2+1*3/2*4x^4+*******+1*3******(2n-1)/2*4*****2nx^2n+********)
再两边同时积分得
f(x)-f(0)==-(x+1/2*3x^3+(1*3/2*4)*(1/5)x^5+*******+1*3******[(2n-1)/2*4*****2n]*(1/(2n+1))x^2n+********)
f(x)=π/2-(x+1/2*3x^3+(1*3/2*4)*(1/5)x^5+*******+1*3******[(2n-1)/2*4*****2n]*(1/(2n+1))x^2n+********) 展开式成立的区间[-1,1]