Question

若cosα+2sinα=-√5，则tanα=

Answer 1

著名的齐次式问题
cosα+2sinα=-√5
(cosα+2sinα)^2=5
cos^2α+4cosαsinα+4sin^2α=5
(cos^2α+4cosαsinα+4sin^2α)/(cos^2α+sin^2α)=5
左边上下同除以cos^2α
得到
(4tan^2α+4tanα+1)/(tan^2α+1)=5
4tan^2α+4tanα+1=5(tan^2α+1)
(tanα-2)^2=0
tanα=2

追问

等下。我去自己算一下，然后采纳。

Answer 2

1、最简单办法。
2边同时平方得：cosα.cosα+4sinαcosα+4sinα.sinα=5(sinα.sinα+cosα.cosα)
同除以cosα.cosα可得(tanα-2)^2=0
故tanα=2

另一法：
tanα=sinα/cosα
==> tan^2α=(1-cos^2α)/cos^2α
==> cos^2α=1/(tan^2α+1)
==> cosα=±1/√(1+tan^2α）

所以
cosα*(1+2tanα)= -√5
==> ±(1+2tanα)/√(1+tan^2α)= -√5。
这是一个tanα的方程，化简后为
tan^2α-4*tanα+4=0,
解得tanα=2

Answer 3

cos^2 a+sin^2 a=1
cosa+2sina=-√5.
解得cosa=-√5/5，sina=-2√5/5。
所以tana=2
祝愉快

追问

我就这么算没算出来。

追答

那好吧，，我教你
设cosa为x。sina为b
则原方程化为
a^2+b^2=1①
a+2b=-√5②
这个会解了吧。。。？？
a=-2b-√5③
代入①得
（-2b-√5）+b^2=1
4b^2+4b√5+5+b^2=1
5b^2+4b√5=-4
利用公式法或配方即解出，注意舍去不符合值

Answer 4

这种题最基本的方法就是方程组思想：∵正余弦背后的关系
cos^2 a+sin^2 a=1
cosa+2sina=-√5.（消去cosa或sina均可）
解得cosa=-√5/5，sina=-2√5/5。（注意解的过程中产生的增解要舍去，显然这里只有负解）
所以tana=2

Answer 5

√5[（1/√5）cosα+（2/√5）sinα]=-√5，
（1/√5）*cosα+（2/√5）*sinα=-1，
令sinθ=1/√5，cosθ=2/√5,
sin(θ+α)=-1,
θ+α=3π/2，
α=3π/2-θ，
tanα=tan(3π/2-θ)=tan(π+π/2-θ)=tan(π/2-θ)=cotθ=cosθ/sinθ=(2/√5)/(1/√5)=2.