Question

在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，点E为AD边上一动点连结CE，作EF⊥CE交AB边于F。

1。当△ECF∽△AEF时，求AF的长
2.在点E的运动过程中，AD边上是否存在异于点E的点G，使△AGF∽△DCG成立？若存在，请猜想点G的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1：过E做EG垂直FC于G，易证
△AFE全等于△EFG，所以AF=AG 同理CD=CG，设AF=x 在三角形BFC中用勾股定理，
(x+2)^=(x-2)^+9 求解X=9/8
2;假设存在，易证∠FGC=90°三点确定的三角形有且只有一个，所以假设错误，不存在！

追问

好的，我也是这么想的，就是不知道正确否

追答

应该差不多，你不会证明？

追问

证出来了，刚考完试，核对一下

Answer 2

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=3/2，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF：3/2=3/2：2，
∴AF=9/8；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．

Answer 3

第一问：
三角形AEF相似DEC（这个一个没问题吧，略过）
所以三角形AEF,DEC,EFC，3个都相似。
所以∠AEF=∠ECF=∠ECD，∠AFE=∠EFC=∠CED
过E作FC的垂线交FC于M
三角形AEF全等MEF（略证）
三角形DEC全等CEM (略证)
所以AE=EM
ED=EM
所以AE=ED=4÷2=2

第二问：
不管G在AD边的何处，这两个三角形一直是相似的。
因为都是直角三角形，另外2个角都相等。

追问

题目没看清吧

追答

哦，3÷2=1.5.哈哈

Answer 4

1.∵△ECF∽△AEF ∴∠AFE= ∠EFC EF为∠AFC的角平分线 ∴∠AEF=∠ECF ∵△ECF和△AEF为直角△ 又∴∠AEF+90°+CED=180 ∴∠AEF+∠CED=90° 则△AEF∽△DCE ∴∠ECF=∠DCE ， EC为∠FCD的角平分线， 过E点做EG⊥FC ， 则AE=EG=ED=3/2 ∵AF/ED=AE/DC ∴AF=(3/2*3/2)/2=9/8.
2.∵EF⊥CE，∴无论点E在AD上的哪一点Rt△AEF∽Rt△DCE成立，因此不存在异于点E的点G。

Answer 5

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．

Answer 6

分析：（1）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，则∠AEF+∠AFE=90°，由EF⊥CE，则∠AFE=∠CED，得到∠AFE=∠CED，根据三角形相似的判定即可得到结论；
（2）由△AEF∽△DCE，根据相似的性质得到AF：ED=EF：CE，同理由△ECF∽△AEF得EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，则AE=ED=
32；再由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，代值即可求出AF；
（3）讨论：①当AE=DE，点G不存在；②当AE≠DE，存在点G且AG=DE，由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，当AG=DE，则DG=AE，得到AF：AG=DG：DC，根据三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=32，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF：32=32：2，
∴AF=98；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组对应角相等的三角形相似；有两组对应边的比相等，且它们的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了矩形的性质．