Question

请问一道很难的数学题，请各位详细解答，谢谢

请问这题怎么写（要过程）:
0＜b＜1+a，若关于x的不等式(x-b)²＞(ax)²的解集中的整数恰有3个，那么a的取值范围是________。
我个人只能算到1＜a＜2
但我听说办公室有老师算到1＜a＜4/3 不知道是我听错了还是真的能推算到那个地步
但这本来是一道选择题，答案给的是C:1＜a＜3
但是将a=2代进去就不合适了 不知道有没有更小的范围

Answer 1

若 |a| <= 1, 当 x <= 0 时 (x-b)² > x² >= (ax)², 不等式(x-b)²＞(ax)²的解集是0,-1,-2,-3,-4,....
∴ |a| > 1. 又 0＜b＜1+a ==> a > -1.
∴ a > 1.
∴ (x-b)²=(ax)² => x = b/(1+a), x = b/(1-a), 且b/(1-a) < 0 < b/(1+a) < 1,
∴ 不等式(x-b)²＞(ax)²的解集中的整数恰有3个 <=> 解集中的整数 = {0, -1, -2}
<=> -3 < b/(1-a) < -2
<=> 3 > b/(a-1) > 2 <=> 1/3 < (a-1)/b < 1/2 <=> 1 + (1/3)b < a < 1 + (1/2)b
∴ 1 + (1/3)b < a < 1 + (1/2)b 且 b - 1 < a
∴ max{ b-1, 1+(1/3)b } < a < 1 + (1/2)b.
∴ b < 1 + a < 1 + 1 + (1/2)b => b < 4.
∴ 0 < b < 4.
∴ 1 < a < 1 + (1/2)(2)
∴a的取值范围是 1 < a < 3. This works for all b with max{0 , 2a -2} < b < 1+a.

Example, If b = 3.9, then max{b-1, 1 + (1/3)b} < a < 1 + (1/2)b => 2.9 < a < 2.95.
Check: Let a = 2.94. b/(1-a) = -2.01. ∴ 解集中的整数 = 0, -1, -2.
听说办公室有老师算到1＜a＜4/3, 老师 is wrong!!!!! answer 是 1 < a < 3.

Answer 2

0＜b＜1+a，若关于x的不等式(x-b)²＞(ax)²的解集中的整数恰有3个，那么a的取值范围是________。

解析：设函数f(x)=(x-b)^2-(ax)^2

(x-b)^2-(ax)^2>0==>(1-a^2)x^2-2bx+b^2>0，

当a^2=1时，函数f(x)为直线，与X轴交点x=b/2,与题要求不符；

当a^2<1时，不等式解集在x1,x2的两侧，显然也是不符合要求；

当a^2>1时，函数f(x)为开口向下的抛物线

∵0＜b＜1+a==>a>1

(1-a^2)x^2-2bx+b^2>0

X1=b/(1+a)==>b<1，x2=b/(1-a)    x1-x2=2b/(1-a^2)

∵解集中的整数恰有3个

∴x2=b/(1-a)<-2==>a<(2+b)/2

x2=b/(1-a)>-3==>a>(3+b)/3

∴a的取值范围是 (3+b)/3<a<(2+b)/2  (b<1) 

昨天晚上提交后，今早上再补充几句：

我设b=1/2，画出a=(3+b)/3=1+1/6和a=(2+b)/2=1+1/4时的图像(图中分别为是粉色曲线和红色曲线)

可见，a的取值范围与b有关0<b<1

X1=b/(1+a)=(1/2)/(1+1+1/6)=3/13; x2=-3

X1=b/(1+a)=(1/2)/(1+1+1/4)=2/9; x2=-2

B=1/2时，a∈(7/6,5/4)

B=1时，a∈(4/3,3/2)

Answer 3

我给一个简单解法：其余已经发送你的百度Hi
补充2； 利用“数形结合”应当也可以求解的．画 y = |x - b| 和 y = |ax|，二者交点即是解
其中 x1 = b / (a+1)∈(0，1)
x2 = - b / (a-1)∈[-3，2)
最后利用已知条件即可

Answer 4

您好，dddddddd123123
此题解法如下
由(x-b)²＞(ax)²得到(x-b-ax)(x-b+ax)>0即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0
又1+a>0,那么1-a<0,故[x+b/(a-1)][x-b/(1+a)]<0
那么可以得出三个解为-2，-1，0
所以可以确定-3<-b/(a-1)<-2,由此得到2a-2<b<3a-3
故2a-2<1+a,即a<3,由此得出1<a<3，我只能算到这一步了
不知道您是怎么算到1<a<2的，而且为什么a=2不成立，您能告诉我吗？

Answer 5

(x-b)²＞(ax)²先画两个抛物线用图像法分析
x-b<ax<-x+b
由右边：x<b/(a+1)
其中0<b/(a+1)<1
所以3个整数解为-2，-1，0
若a-1<0:得x<b/(1-a)解集为开集
若a-1>0:得x>-b/(a-1)
只要-3<-b/(a-1)<-2即可
3>b/(a-1)>2得2(a-1)<a+1即a<3 且3(b-2)>b即b>3即a>2
所以2<a<3

Answer 6

你等一下，过程有点复杂
我得慢慢写
1＜a＜3
对么？要是对我就把过程发上来