Question

高数中证明收敛数列极限时设ε<1的目的

如证明（3n+1)/(2n+1)极限为3/2
证:|xn-a|=|(3n+1)/(2n+1)-3/2|=1/(4n+2)
任意ε>0（...),只要1/(4n+2)<ε或n>1/4(1/ε-2),不等式|xn-a|<ε必定成立。
所以，取N=[1/4(1/ε-2)],则当n>N时就有|(3n+1)/(2n+1)-3/2|<ε
即，（3n+1)/(2n+1)极限为3/2

其中括号内是ε<1么，有人说是因为收敛性才将ε设定到一个较小的范围内
难道不是为了满足N=[1/4(1/ε-2)]中1/4(1/ε-2)的值大于0么？那样的话就是ε<1/2了啊

还有“[ ]”是取整还是取整+1，网上有人说是取整+1，可是如果这样由于后面“n>N”的原因n就跳掉了一项（因为n是开区间，取不到N）

Answer 1

设ε<1是不必的,也不需要1/4(1/ε-2)大于零
为ε设置上限一般只在ε过大会出现给负数开方等类似情况
[ ]是取整,但即使理解为+1确实跳掉一项,却并不影响证明
学习这部分的时候重点是理解和学习这种思维方式,对细节的处理知道就行,不用深究

Answer 2

括号内是ε∈R，不是因为收敛性， 也不是为了满足N=[1/4(1/ε-2)]中1/4(1/ε-2)的值大于0，你可以取负值，显然这时所以的n都满足要求，但收敛的定义是尽可能小，也就是无论你取多小，这样的临界n总可以找到，使得之后的数列各项与收敛值的绝对值都小于ε
至于取得是取整还是取整+1，完全由自己决定，关键是要确定有没有临界的n值，显然可以不一样，如果得到的是n<...，显然数列是发散的，即这个极限不是a