Question

数列通式问题

数列an的an=an-1+2^n(n＞2 n∈N*)则它的通项公式
数列an的前n项和Sn满足an=2-2Sn 求通项公式
麻烦写一下过程，另外做这种叠加叠成有什么方法吗？

Answer 1

1. an=an-1+2^n
an-2*2^n=a(n-1)+2^n-2*2^n
an-2*2^n=a(n-1)-2^n=a(n-1)-2*2^(n-1)
可见an-2*2^n=a1-2*2^1=a1-4
an=a1+2^(n+1)-4 (这里a1应该告诉的，题目中没有)
2. an=2-2Sn
2Sn=2-an 2S1=2-a1 3a1=2 a1=2/3
2S(n-1)=2-a(n-1)
则2an=2[Sn-S(n-1)]=2-an-2+a(n-1)=a(n-1)-an
即3an=a(n-1)
所以{an}是公比为1/3的等比数列
an=a1*(1/3)^(n-1)=(2/3)*(1/3)^(n-1)=2/3^n
叠加计算要看就具体事例。

Answer 2

①an=a(n-1)+2^n(n＞2 n∈N*)
则an-2^(n+1)=a(n-1)-2^n=…=a2-2³
那么an=a2+2^(n+1)-8
②由an=2-2Sn
a(n-1)=2-2S(n-1)
相减得an-a(n-1)=-2an
即an=1/3a(n-1)
a1=2-2S1=2-2a1 则a1=2/3
数列{an}是以2/3为首项，1/3为公比的等比数列
an=2/3(1/3)^(n-1)=2/3^n

Answer 3

an=an-1+2^n，有a2=a1+2^2,a3=a2+2^3=a1+2^2+2^3,……，an=a1+2^2+2^3+……2^n=a1+2^(n+1)-4
an=2-2Sn 可以得到an=2/3^n

Answer 4

只介绍常规方法；
1. a(n) = 2^n + a(n-1)
= 2^n + 2^(n-1) + a(n-2)
= 2^n + 2^(n-1) + 2^(n-2) + a(n-3)
=2^n + 2^(n-1) + 2^(n-2) + 2^(n-3) + ............2^2 + a(1)
=[2^(n+1) - 2^2] + a(1)

2. a(n) = 2 - 2S(n)
则 a(n-1) = 2 - 2S(n-1)
两式相减得
a(n) - a(n-1) = - 2S(n) + 2S(n-1)
因为 S(n) - S(n-1) = an
则a(n) - a(n-1) = -2a(n)
所以a(n) = 1/3 * a(n-1)
= 1/3 * [1/3 * a(n-2)] 递归： a(n-1) = 1/3 * a(n-2)
= (1/3)² * a(n-2)
= (1/3)³ * a(n-3)
= (1/3)^(n-1) * a(1)

这种方法就是常规方法，真正重要考试一点也没有用，只能对付平常小考