Question

椭圆G：x^2/a^2+y^2/b=1(a>b>0)的两个焦点F1（-c,o）F2(c,o)，M是椭圆上的一点，且满足向量F1M*F2M=0

<1>求离心率取值范围
<2>椭圆G的方程:斜率K不等于0 的直线L与椭圆G交于不同两点A.B Q为AB中点,问A.B两点是否关于P(0, -(根号3)/3),Q的直线对称,能,求出K范围 不能,说明理由
详细过程,谢谢
接第一问
<2>当离心率e取得最小值时，点N（0,3）到椭圆上的点的最远距离为5倍根号2
求此时椭圆G的方程
斜率K,(k≠0)的直线L与椭圆G交于不同两点A.B且 Q为AB中点,问A.B两点是否关于过点P(0, -(根号3)/3),Q的直线对称,能,求出K范围 不能,说明理由

Answer 1

要使使其为直角，实际上就是使y轴的交点与焦点连起来是直角或钝角（因为MC1+MC2=2a，如果另一个增长了，就必然相对于2c相对增大，那么2c所对角度必然减小，所以y轴的交点与焦点连起来只要是直角或钝角就行）所以e大于等二分之根号2，
设直线方程为y+√3/3=kx
由题知，AB所在方程斜率为-1/k
设A、B两点坐标为（x1,y1)(x2,y2)
则(y2-y1)/(x2-x1)=-1/k
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
b^2(x1+x2)(x1-x2)+a^2(y1+y2)(y1-y2)=0
b^2(x1+x2)(x1-x2)=-a^2(y1+y2)(y1-y2)
(y2-y1)/(x2-x1)=-b^2(x1+x2)/a^2(y1+y2)=-1/k
即b^2(x1+x2)=ka^2(y1+y2)
注意到（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)正是AB的中点，根据题意，它在直线y+√3/3=kx上
因此有 (y1+y2)/2+√3/3=k(x1+x2)/2
(y1+y2)+2√3/3=k(x1+x2)＝k*ka^2(y1+y2)/b^2
(y1+y2)(k^2a^2/b^2-1)=2√3/3
-2b≤(y1+y2)=2√3/3*b^2/(k^2a^2-b^2)≤2b
解这个不等式即可得k的范围（注意a>b>0)

追问

椭圆的方程怎么求

追答

离心率最小即b=c，设最远点坐标为（acosβ，bsinβ），所以两点之间的距离d=√【a²cos²β+（bsinβ-3）²】，所以d²=—（bsinβ+3）²+2b²+18！！若b≧3，则最大值为d²=2b²+18=50，所以b=4，c=4，a=4√2；若b≦3，d²≦2b²+18≦36不符合题意，所以b=4，c=4，a=4√2！！！记得分哟，挣点分不容易啊

Answer 2

F1M*F2M=0，说明向量F1M⊥F2M，则
F1M＾2＋F2M＾2＝4c^2
设点为（x,y)则
(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=4c^2
即x^2+y^2=c^2
又点在椭圆上故：
x^2/a^2+y^2/b^2=1，b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
两式联立，消去y（x也可以）
b^2x^2+a^2(c^2-x^2)=a^2b^2
整理得：
c^2x^2=a^2(c^2-b^2)
x^2=a^2(c^2-b^2)/c^2=a^2(2c^2-a^2)/c^2≤a^2
(2c^2-a^2)/c^2≤1
(2c^2-a^2)/c^2≤1
2-1/e^2≤1
e^2≤1
e<1(e≠1)
2、
设直线方程为y+√3/3=kx
由题知，AB所在方程斜率为-1/k
设A、B两点坐标为（x1,y1)(x2,y2)
则(y2-y1)/(x2-x1)=-1/k
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
b^2(x1+x2)(x1-x2)+a^2(y1+y2)(y1-y2)=0
b^2(x1+x2)(x1-x2)=-a^2(y1+y2)(y1-y2)
(y2-y1)/(x2-x1)=-b^2(x1+x2)/a^2(y1+y2)=-1/k
即b^2(x1+x2)=ka^2(y1+y2)
注意到（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)正是AB的中点，根据题意，它在直线y+√3/3=kx上
因此有 (y1+y2)/2+√3/3=k(x1+x2)/2
(y1+y2)+2√3/3=k(x1+x2)＝k*ka^2(y1+y2)/b^2
(y1+y2)(k^2a^2/b^2-1)=2√3/3
-2b≤(y1+y2)=2√3/3*b^2/(k^2a^2-b^2)≤2b
解这个不等式即可得k的范围（注意a>b>0)

追问

椭圆的方程怎么求