Question

一道 高难 几何题（用初中数学方法）。（可能根本无法用初中数学方法求解）

∠BAC 60°，AD为其角平分线。∠BDC 60°交∠BAC于B、C。 求证：△ABC三边长和为定值（根号3倍的AD）

Answer 1

过D点作DE⊥AE于E，过D点作DF⊥AF于F，∠EDF=120°，

要证明DB平分∠EBC,DC平分BCF，所以将△BDE绕点D顺时针旋转120°得到△DFG，显然A,C,F,G四点共线

∵∠BDE+∠CDF=120°-60°=60°

∴∠FDG+∠CDF=60°

∴∠BDC=∠CDG=60°

∵BD=DG,DC=DC

∴△DCG≌△DCB

∴∠DCB=∠DCG

同理∠DBC=∠DBE

然后过点D作DH⊥BC于H，易证△DCF≌△DCH,△DBH≌△DBE

∴BH=BE,CH=CF

∵AB+AC+BC=AB+BH+AC+CH=AB+BE+AC+CF=AE+AF

∵△DAE≌△DAF

∴AE=AF

∴AB+AC+BC=2AF

∵AF=√3/2AD

∴AB+AC+BC=2AF=√3AD(定值）

Answer 2

你少给了个条件。。。AE⊥DE，AF⊥DF
这个题还是比较常见的初中题目。。。核心思想——旋转，证明BE+CF=BC
证明（简略写了）：延长BE到P使PE=CF，连接PD，有了垂直的条件容易知道DE=DF，然后边角边SAS易证△DFC≌△DEP，然后就知道BP=BE+CF，DC=DP，知道∠EDF=120，∠BDC=60，然后容易得出∠PDB=∠BDC，再加上DC=DP，BD=BD，边角边SAS的△DPB≌△DCB，所以BC=BP=BE+CF，所以△ABC周长=AE+AF，易证为AD的根号三倍
类似题目还有在正方形ABCD中E在CD上，F在BC上，∠EAF=45，求证△CEF周长为定长=2倍边长