Question

如何求下列级数的敛散性：∑（n从1到正无穷）a^n* n! / n^n (a>0) ∑（n从1到正无穷）(a*n /n+1)^n (a>0)

Answer 1

lim(n→∞)[a^(n+1)*(n+1)^(n+1)/(n+1)^(n+1)]/[a^n* n! / n^n] (a>0)
=lim(n→∞)[a(n+1)n^n]/(n+1)^(n+1)
=lim(n→∞)a[n/(n+1)]^n
=lim(n→∞)a/(1+1/n)^n
=a/e
若0<a<e,则该级数收敛
若a=e,该级数为∑（n从1到正无穷）e^n* n! / n^n
∵e^n* n! / n^n>1/n^n
又lim(n→∞)1/n^n=lim(n→∞)e^[nln(1/n)]=∞≠0
∴∑（n从1到正无穷）1/n^n发散
∴∑（n从1到正无穷）e^n* n! / n^n
若a>e,则该级数发散
综上，当0<a<e时级数收敛，当a≥e时发散

lim(n→∞){[an/(n+1)]^n}^(1/n)
=lim(n→∞)an/(n+1)
=a
若0<a<1,则该级数收敛
若a=1,该级数为∑（n从1到正无穷）(n /n+1)^n
lim(n→∞)(n /n+1)^n=lim(n→∞)1/(1+1/n)^n=1/e≠0
∴∑（n从1到正无穷）(n /n+1)^n发散
若a>1,则该级数发散
综上，当0<a<1时级数收敛，当a≥1时发散