Question

抽象函数

对于定义域为【0,1】的函数f(x),如果同时满足对任意的x属于【0,1】，总有f(x)>=0,f(1)=1,若x1>=0 x2>=0,x1+x2<=1,都有f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数。问：若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值 判断函数g(x)=2^x-1(x属于【0,1】）是否为理想函数，并予以证明 若函数f(x)为理想函数，假定x0属于【0,1】，使得f(x0)属于【0,1】，且f(f(x0))=x0 求证f(x0)=x0

Answer 1

1、令x1=0，x2=0，由题意可知f(x1+x2)=f(0) ，f(x1)=f(0),f(x2)=f(0)，根据f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2)，故有f(0)>=2f(0) 由此可知f(0)=0。
2、对于g(x)=2^x-1，由于2^x为增函数，因此当x属于【0,1】时，有2^x的范围是【1,2】，
可得g(x)的范围是【0,1】，假设x1>=0 x2>=0,x1+x2<=1则有g(x1+x2)=2^(x1+x2)-1，
g(x1)=2^x1-1,g(x2)=2^x2-1；g(x1)+g(x2)=2^x1+2^x2-2,
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2^(x1+x2)-1-(2^x1+2^x2-2)=2^(x1+x2)-2^x1-2^x2+1
2^(x1+x2)=2^x1*2^x2≤(2^x1+2^x2)^2/2 由于x1>=0 x2>=0，故2≤2^x1+2^x2≤4
进而有≤(2^x1+2^x2)^2/2