Question

定义在R上函数地f（x）满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,且f(x/5)=1/2f(x)当0≤x1<x2≤1时，f(x1)≤f(x2)

则f(1/2011)=

Answer 1

f(x)+f(1-x)=1中取x=得的f(1)=1，
取x=1/2得f(1/2)=1/2，
由f(x/5)=1/2f(x)得f(1/5)=1/2f(1)=1/2，
f(1/25)=1/2f(1/5)=1/4，
f(1/125)=1/2f(1/5)=1/8，
f(1/625)=1/2f(1/125)=1/16，
f(1/3125)=1/2f(1/625)=1/32。
由f(x/5)=1/2f(x)得f(1/10)=1/2f(1/2)=1/4，
f(1/50)=1/2f(1/10)=1/8，
f(1/250)=1/2f(50)=1/16，
f(1/1250)=1/2f(250)=1/32，
由f(1/3125)≤f(1/2011)≤f(1250)
及f(1/3125)=f(1/1250)=1/32得f(1/2011)=1/32.