Question

等腰梯形ABCD中AD平行BC，AD=3cm,BC=7cm,角B=60度，P为底边BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过点P作PE...

等腰梯形ABCD中AD平行BC，AD=3cm,BC=7cm,角B=60度，P为底边BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过点P作PE交DC于点E，使得角APE等于角B，(1)求等腰梯形的腰长;(2)在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求出此时BP的长,如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)因为四边形ABCD是等腰梯形
所以∠B=∠C=60°
所以∠BAP+∠APB=120°，∠EPC+∠APB=120°,
所以∠BAP=∠EPC,
所以△ABP∽△PCE

(2)过A作AQ⊥BC,过D作DN⊥BC
容易得到：MN=AD=3cm，BM=CN=2cm
在直角△ABM中，∠BAM=30°
所以AB=2BM=4cm

(3)假设存在P使得DE：EC=5：3
则EC=3CD/8=3AB/8=1.5
因为△ABP∽△PCE
所以AB/PC=BP/EC,
所以PC*PB=EC*AB=1.5*4
即PC*PB=6
又因为PC+PB=7
两式组成方程组解得：
PB=1或PB=6
因此：在底边BC上存在一点P，使得DE：EC=5：3，BP的长1或6

Answer 2

1）证明： ∵ ABCD是等腰梯形
∴ ∠B = ∠C ①
又∵ ∠B + ∠BAP = ∠APC
∠B = ∠APE = 60°
∴ ∠APE + ∠BAP = ∠APC
又 ∠APE + ∠CPE = ∠APC
∴ ∠BAP = ∠CPE ②
由①②可得 △ABP∽△PCE
（2）假若存在这样的一点P 那么DE:EC=5:3
过A作AM⊥BC交BC于M ，过D作DN⊥BC交BC于N
∴MN=AD=3 ，AM=NC
∴2AM=BC-MN=4 ∴AM=2
在直角△ABM中 ∠B = 60°，AM=2
∴AB=2*根号3 除以 3 由等腰梯形可得AB=DC
（由于符号不好书写，所以下面我给你简单分析一下）
因为 DC 我们知道，DE:EC=5:3 所以我们可以算出EC 的值 ，从(1)中我们知道△ABP∽△PCE，所以EC:PB=PC:AB ③,又PB+PC=BC=7④的，我们用③④两式可得出以PB和PC为未知数的方程组，如果这个方程组有解则存在这样的一点P，BP我们通过方程组可求出，如果这个方程组没解，则不存在这样的点P
你自己求求，加油！

Answer 3

过A作AQ⊥BC,过D作DN⊥BC
容易得到：MN=AD=3cm，BM=CN=2cm
在直角△ABM中，∠BAM=30°
所以AB=2BM=4cm

Answer 4

腰长4
存在 方法：过AE的中垂线做圆，使圆心到AE的距离为AE长度的sqrt(3)/6倍，该圆与BC的交点即为点P；
可以B点为原点建立直角坐标系 就能解出来 我大概的算了一下 BP为1或6