Question

当0＜x＜π/2时，函数f（x）=（1+cos2x+8sin²x)/(sinx)的最小值

Answer 1

f（x）=（1+cos2x+8sin²x)/(sinx)
=(2cos²x+8sin²x)/sinx
=(2+6sin²x)/sinx
=6sinx+2/sinx
因为 0<x<π/2，所以 sinx>0
则f(x)=6sinx+2/sinx>=2√12=4√3
当且仅当 sin²x=1/3时取等号。
所以，所求函数的最小 值为4√3。

Answer 2

∵0＜x＜π/2，∴0＜sinx＜1，这说明2/sinx和6sinx都是正数。而f（x）=[(1+cos2x)+8sin²x]/sinx=[2cos²x+2sin²x+6sin²x]/sinx=[2(cos²x+sin²x)+6sin²x]/sinx=[2+6sin²x]/sinx=2/sinx+6sinx。由均值不等式知：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。所以f（x）≥2√[(2/sinx)(6sinx)]=2√12=4√3。当且仅当等号成立时，函数f(x)有最小值。且函数f(x)的最小值是4√3。