Question

用几何方法证明：|a－b|≤|a|＋|b| 　　　|a＋b|≤|a|＋|b|

请把步骤、思考过程写清楚，谢～

Answer 1

先证明第一个：数轴上，点A表示数a，点B表示数b
|a-b|是线段AB的长度，|a|,|b|分别是线段OA,OB的长度（注意：这些长度是可以等于0的）
显然，要不然AB=OA+OB，要不然OA=AB+OB或OB=AB+OA，都能推导出AB<=OA+OB
第二个就好办了，因为|a+b|=|a-(-b)|，而|a|+|b|=|a|+|-b|
所以，可以利用第一个结论证明|a-(-b)|<=|a|+|-b|，即|a+b|<=|a|+|b|
（转化是一种很重要的数学思想）
当然，第二个也可以用数轴证，方法同第一个：设点B'表示数-b，则|a+b|=|a-(-b)|=AB'

Answer 2

|证明：（三角形不等式）
1、当a≥0，b≥0时
||a| - |b|| = |a - b|，很明显，|a - b|＜|a + b|
2、当a≥0，b＜0时
||a| - |b|| = |a + b|，很明显，|a + b| = |a + b|
3、当a＜0，b≥0时
||a| - |b|| = |-a - b| = |a + b|，很明显，|a + b| = |a + b|
4、当a＜0，b＜0时
||a| - |b|| = |b - a|，很明显，|b - a|＜|a + b|
综上可知，无论a，b为何值，均满足
||a| - |b||≤|a + b|
证毕
一定要采纳！

Answer 3

|a+b|和|a-b| 都表示第三边吗？

其实大家都知道如下这两个有名的不等式
|a+b|≤|a|+|b| 和 ||a|-|b||≤|a-b| ，
他们有一个很特殊的名称“三角形不等式”，但是这个名称的由来可能很少有人去追究。

他们的几何意义就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”。

||a| - |b||≤|a + b|如何证明？

1、当a≥0，b≥0时
||a| - |b|| = |a - b|，很明显，|a - b|＜|a + b|

2、当a≥0，b＜0时
||a| - |b|| = |a + b|，很明显，|a + b| = |a + b|

3、当a＜0，b≥0时
||a| - |b|| = |-a - b| = |a + b|，很明显，|a + b| = |a + b|

4、当a＜0，b＜0时
||a| - |b|| = |b - a|，很明显，|b - a|＜|a + b|

由以上4种情况的讨论知道，无论a，b为何值，均满足
||a| - |b||≤|a + b|

证毕！

Answer 4

利用向量证明
1)向量a,b不共线时:
和向量与差向量可以同三角形法则求出,那么在一个三角形中,两边之和大于第三边即可以证明,向量和差的模小于向量模的和.
2)向量a,b共线时:
当它们方向相同时,差向量的模小于向量模的和;和向量的模等于向量模的和
当方向相反时,差向量的模等于向量模的和;和向量的模小于向量模的和