Question

求助高中数学数列题

设数列 An 满足：B·An-2^n=(b-1)Sn
1.当b=2时，求证An-n·2^(n-1) 是等比数列
2.求An通项公式

Answer 1

（1）2an-2^n=Sn
2a(n-1)-2^(n-1)=S(n-1)
作差2an-2a(n-1)-2^(n-1)=an
an-n*2^n-1=2(a(n-1)-(n-1)*2^(n-1)-1)
所以{an-n*2^n-1}是等比数项，公比为2。

（2）由b*an-2^n=(b-1)Sn 知：
a1=2

b*an-2^n=(b-1)Sn
b*a（n+1）-2^（n+1）=(b-1)S（n+1） ，相减得：
a(n+1)=b*an+2^n
设a(n+1)-k*2^(n+1)=b(an-k*2^n)
把a(n+1)=b*an+2^n 代入：得k=1/(2-b) (b≠2){配了一个k}
{an-1/(2-b)*2^n}为等比数列
an-1/(2-b)*2^n=[2-1/(2-b)*2]b^(n-1)
an=1/(2-b)*2^n+[2-1/(2-b)*2]b^(n-1)
=1/(2-b)*2^n+[(2b-2)/(2-b)*2]b^(n-1)
当b=2时
通过上{an-n*2^(n-1)}是等比为2的等比数列
an-n*2^(n-1)}=（2-1）*2^(n-1)
an=(n+1)2^(n-1)

当b=2 ,an=(n+1)2^(n-1)
当b≠2 ，an=1/(2-b)*2^n+[(2b-2)/(2-b)*2]b^(n-1)

Answer 2

ban-2^n=(b-1)Sn
ba(n+1)-2^(n+1)=(b-1)S(n+1)
联立得ba(n+1)-ban+2^n-2^(n+1)=(b-1)a(n+1)
得a(n+1)-ban+2^n-2^(n+1)=0
a(n+1)-2^(n+1)=b[an-(2^n)/b]
很容易知道当(2^n)/b=2^(n-1)就能得到等比了

Answer 3

楼上回答的很详细