Question

高中数学题！三角函数

一扇形周长为C，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？

Answer 1

解：
设扇形的半径为R．
方法一：
∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR＝(2＋α)R
∴R＝C/(2＋α)
∴S扇＝1/2α•R²＝1/2α•[C/(2＋α)]²＝(C²/2)α•[1/(4＋4α＋α²)]
＝(C²/2)•[1/(4＋α＋4/α)]≤C²/16
∴当且仅当α＝4/α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C²/16

方法二：
∵2R＋l＝C
∴R＝(C－l)/2(l＜C)
∴S扇＝1/2Rl＝1/2•[(C－l)/2]•l＝1/4(Cl－l²)
＝－1/4[l－(C/2)]²＋(C²/16)
∴当l＝C/2时，Smax＝C²/16，此时α＝l/R＝(C/2)/ [(C－C/2)/2]＝2