Question

根号下4-9x的平方分之一得不定积分

Answer 1

∫√(9x²-1/4)dx=∫√[(3x)²-(1/2)²dx=(1/3)∫√[(3x)²-(1/2)²d3x

=(1/3)[(3x/2)√(9x²-1/4)-(1/8)ln｜3x+√(9x²-1/4)｜]+c

例如：

根号下4-x^2的定积分是x*√(4-x^2)/2+2arcsin(x/2)+C。

解：∫√(4-x^2)dx 

=∫√(2^2-x^2)dx 

那么令x=2sint，则

∫√(4-x^2)dx =∫√(2^2-x^2)dx 

=∫(2cost)d(2sint)

=4∫cost*costdt

=4∫(cos2t+1)/2dt

=2∫cos2tdt+2∫1dt

=sin2t+2t+C

=2sintcost+2t+C

又x=2sint，则sint=x/2，cost=√(4-x^2)/2，t=arcsin(x/2)

所以∫√(4-x^2)dx =2sintcost+2t+C

=x*√(4-x^2)/2+2arcsin(x/2)+C

扩展资料：

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

参见图片把  数学公式太难打了 

看不到图片的话 可以追问下

Answer 3

见图片