Question

已知sinα+β=√3/2,则y=cosα+cosβ的最大值是

Answer 1

∵sin（α＋β）＝√3/2，∴α＋β＝2kπ±π/3，∴α＝2kπ±π/3－β。
∴y＝cos（2kπ±π/3－β）＋cosβ＝cos（±π/3－β）＋cosβ
＝cos（±π/3）cosβ＋sin（±π/3）sinβ＋cosβ＝（1/2）cosβ±（√3/2）sinβ＋cosβ
＝√3［（√3/2）cosβ±（1/2）sinβ］＝√3cos（β±π/3）。
∴y的最大值是√3。

Answer 2

sin(α+β)=√3/2, 2sin[(α+β)/2]*cos[(α+β)/2]=√3/2 (1-cos[(α+β)/2]²)cos[(α+β)/2]²=3/16
cos[(α+β)/2]²=(1±1/2)/2,cos[(α+β)/2]=±1/2,cos[(α+β)/2]=±√3/2.
y=cosα+cosβ=2*cos[(α+β)/2] *cos[(α-β)/2] ,cos[(α+β)/2最大值为√3/2，cos[(α-β)/2]最大值为1
则y=cosα+cosβ的最大值=2*√3/2*1=√3