Question

函数问题：已知函数f(x)定义域（0,+∞），x>1时 f(x)>0，f(x*y)=f(x)+f(y)

1，求f(1)
2，证明f(x)在（0,+∞）单调递增
3，f(1/3)=-1 求f(x)-f(1/(x-2))>=2时x取值范围。

Answer 1

1.令X=Y=1得：f(1*1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
2.令 Y=1/X, 得f(x*1/x)=f(1)=0=f(x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)
f(x/y)=f(x)-f(y)
令x>y, 则x/y>0, f(x/y)>0, f(x)>f(y) 此为递增函数
3, 令Y= X得：f(x*x)=f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)
f(1/3)=-1, f(3)=1, f(9)=2f(3)=2
f(x)-f(1/(x-2))=f[x(x-2)]>=2
所以：
x(x-2)>=9
x^2-2x-9>=0
因x>0,所以取x>=1+√10

Answer 2

1解：.f(1*1)=f(1)+f(1)
所以，f(1)=0
2,证明：在（1，+∞）上任取m<n
则f(m*(n/m))=f(m)+f(n/m)
即f(n)-f(m)=f(n/m)>0
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增
在（0,1）上任取a<b 则b/a>1
f(a*(b/a))=f(a)+f(b/a)
f(b)-f(a)=f(b/a)>0
所以f(x)在（0,1）上单调递增
又f(a*(1/a))=f(a)+f(1/a)=f(1)=0
f(a)=-f(1/a)<0
所以f（x）在（0,1）上小于0
所以f(x)在（0，+∞）上单调递增
3.解：由（2）得：0<a<1,f(1/a)=-f(a)
f(1/3)=-f(3)=-1 f(3)=1
f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=2
f(x)-f(1/(x-2))>=2
f(x)-f(1/(x-2))>=f(9)
f(x)>=f(1/(x-2))+f(9)
f(x)>=f(9/(x-2))
所以，x>=9/(x-2)
x>0 9/(x-2)>0
解得：x>=1+√10

Answer 3

1,令x=y=1，代入f(x*y)=f(x)+f(y)，得到f(1)=f(1)+f(1), 得到f(1)=0;
2,令x>0,h>0;
f(x + xh) = f(x(1+h)) = f(x) + f(1+h)
由于1+h>1,由已知条件的f(1+h ) > 0
所以f(x + xh)>f(x)
由于x + xh能表示任意大于x的实数,所以上式满足f(x)是增函数的定义.
3,由于f(x)在定义域下是增函数,很显然-f(1/(x-2))在定义域下也是增函数,即f(x)-f(1/(x-2))在定义域下是增函数.
首先满足定义域,1/(x-2) > 0,得到x>2;……（1）
另外,0=f(1)=f(3) +f(1/3)=f(3) -1 ,得到f(3) = 1; f(9)= f(3*3)= 2f(3)=2;
f(x)-f(1/(x-2))>=2=f(9),得到f(x) >= f(1/(x-2)) + f(9)=f(9/(x-2))
由于f(x)是增函数,所以x>9/(x-2);……（2）
由（1）（2）求出x的取值范围。