Question

关於等腰梯形的几何证明题。求助!!!!!!

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC.BD相交于O,且AC⊥BD,若AD+BC=4 根号2(详细请看图下方);求:(1)对角线AC的长;(2)梯形ABCD的面积

Answer 1

看到题目首先理清思路，ABCD是个等腰梯形，于是就有了两对角线相等。题中有给了我们对角线AC⊥BD。像这种给了对角线特殊关系的题目，我们一般是过一点作一对角线的平行线交另一低的延长线于一点。这种做法的好处就是，有了新的平行四边形，于是我们就可以把梯形两底放在同一直线上，那么相应的，对角线也可以通过平行四边形对边相等给换出来。如下证。

证：（1）过点D作DE//AC交BC延长线于点E。
∵梯形ABCD，AD//BC（已知）
∴AC=BD（等腰梯形对角线相等）
∵AD//BC（已知），AC//DE（已作）
∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∠BOC=∠BDE（两直线平行，同位角相等）
∴AC=DE，AD=CE（平行四边形对边相等）
∴BC+AD=BC+CE（等式性质）
即：BC+AD=BE
又∵AD+BC=4根号2（已知）
∴BE=4根号2
∵AC⊥BD（已知）
∴∠BOC=90°（垂直的意义）
又∵∠BOC=∠BDE（已证）
∴∠BDE=90°（等量代换）
∵AC=BD,AC=DE（已证）
∴BD=DE（等量代换）
在Rt△BDE中，∠BDE=90°（已证）
∴BD²+DE²=BE²（勾股定理）
又∵BD=DE，BE=4根号2（已证）
∴BD=DE=4（等式性质）
（注：等腰直角三角形两条直角边和斜边之比是1：1：根号2，记住的话到时候就可以省去草稿纸上的计算啦！）
又∵BD=AC（已证）
∴AC=BD=4（等量代换）
（2）S梯形ABCD=二分之一AC×BD
=二分之一×4×4
=8
（注：对角线相互垂直的四边形面积就等于两对角线乘积的一半，直接用，可以不写理由！）
到此证毕。
纯手打，望采纳。
以后有不懂的可以直接私聊我。

Answer 2

梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴AC=BD(等腰梯形的对角线相等）；
过D作DE∥AC交BC于E，则四边形ACED是平行四边形，CE=AD,，DE=AC(平行四边形对边相等）
BE=BC+CE=BC+AD=4√2；
∵AC⊥BD，DE∥AC，∴DE⊥BD，且有DE=AC=BD，可知△BDE是等腰直角三角形。
（1）、等腰直角三角形BDE中，BD=BE/√2=4√2/√2=4；那么AC=BD=4；
（2）、∵AC⊥BD、AC=BD=4，∴梯形ABCD的面积=S△BDA+S△BDC=(1/2)BD*AO+(1/2)BD*OC
=（1/2）BD*(AO+OC)=(1/2)BD*AC=(1/2)×4×4=8。

追问

爲什麽BD=BE/√2 ??請指教。

Answer 3

（1）4（2）4*4/2=8