Question

高中函数

已知函数f(x)=x+a/x+b, a,b属于R. 若对于任意a属于【1/2,2】，不等式f(x)<=10在【1/4,1】上恒成立，求b的取值范围

Answer 1

这道题应该是考察函数的单调性和值域的问题。
注意到f(x)<=10（x属于[1/4，1]）, 故b<=10-(x+a/x)
要求上式对任意a属于[1/2，2]和x属于[1/4，1]都成立，就是要求b<=10-(x+a/x)的最小值，
换句话说，就是求(x+a/x)在a属于[1/2，2]和x属于[1/4，1]情况下最大值
因为(x+a/x)在x>0分支是先减后增函数，最小值点为x=根号a，最大值只可能在定义域两端取得
MAX=max（1/4+4a, 1+a)，可见在a>=1/4时 都是在x=1/4取得最大值，即 1/4+4a,而且该式也是随a增大的，因此最大值为a=2，x=1/4时的8又1/4，b<=10-8又1/4
所以b的范围是（负无穷，1又3/4]

Answer 2

（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．
当 时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f'（x）=0，解得x1=0， ，x3=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在 ，（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0）， 内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．
解些不等式，得 ．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是 ．
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a2-64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当 ，即 ，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．