Question

证明从1-100中选出51个数,其中必有两个数,一个是另一个的倍数

Answer 1

将这一百个数都写成2^k×B的形式，其中B为奇数，如2＝2^1×1，5＝2^0×5，14＝2^1×7。
显然，B＜100，而在100以内的奇数只有50个，
∴这一百个数改写成2^k×B之后，最多出现50个各不相同的奇数B。
∴从这一百个数中选出51个，必存在两个数，它们的B部分是一样的。设这样的两个数为：
a＝2^p×B，b＝2^q×B，不妨令a＞b，就有：p＞q，a/b＝2^（p－q）＝正整数，
∴a是b的倍数。

Answer 2

将1~100共100个数分成两组：
第一组：1，2，3，4，。。。，50
第二组：51，52，53，。。。。，100
其中第二组中任意两个数都没有倍数关系，但它们每个都是第一组中某一个（甚至几个）数的倍数。
反之，对第一组中的每个数，在第二组中都至少有一个（有时有几个）数是它的倍数。
设51个数中，有m个（不超过50）属于第二组，则属于第一组的数有 51-m(至少为1）个。
而这51-m个数的倍数至少有51-m个（在第二组），所以第二组中数至少有 （51-m）+m=51个>50个，矛盾。
因此，命题得证。