Question

||a|-|b||<=|a+b|<=|a|=|b|

Answer 1

我们知道 　　|a|={a，(a>0)， a，(a=0)， ﹣a，(a<0)，} 　　
因此，有 　　﹣|a|≤a≤|a| ......① 　
　﹣|b|≤b≤|b| ......② 　
　同样地 　　①，②相加得 　　﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 　
　即 |a+b|≤|a|+|b| ......③ 　　易得，当且仅当ab≥0时，③式等号成立
。由③可得 　　|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|......④
　　即 |a|-|b|≤|a+b| ......⑤ 　　
对④式，由上面知，当且仅当(a+b)(-b)≥0时等号成立，所以⑤式等号成立的充要条件是b(a+b)≤0。 　　
综合③，⑤我们得到有关绝对值（absolute value)的重要不等式 　　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

Answer 2

Answer 3

课本上证明过此不等式（=应该是+吧……）

Answer 4

分两步证，每一个不等式因为左右非负，只要证明平方成立就可以，比如对右边的那个不等号：
只要证：｜a+b|^2<=（|a|＋|b|）^2
即证：a^2+b^2+2ab≤a^2+b^2+2|ab|
即证：ab≤｜ab|该式显然成立，故原不等式成立！
对另一个同理可证。
处理绝对值 问题的一般思路：
1、通过讨论去掉绝对值
2、两边平方