Question

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx

(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间
(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.
(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.

Answer 1

(1)y=xlnx-2x y'=lnx+1-2=lnx-1 令y'=0 x=e 0<x<e 时，y'<0 减区间为（0，e）同理增为（e，+无穷）
（2）y'>=0在[1,+无穷）上恒成立 1/2ax^2+2x>=0 1/2ax^2>=-2x a>=-4/x 所以 a>=0
(3)lnx/x=ax+2-2a-1 lnx=ax^2-(1-2a)x ax^2+(1-2a)x-lnx=0 令F(x)= ax^2+(1-2a)x-lnx
F'(x)=2ax+1-2a-1/x 令F'(x)=0 x=2a-1/2a 因为x>0 所以2a>1 a>1/2
可知x=2a-1/2a是F(x)的极小值点 若有且只有2个不相等的实数根 只需 F（2a-1/2a）<0 后面自己解吧 打这么多 累死了

追问

第二问似乎错了..

追答

错了么？我也看着不太对 可能是某个地方看错了 不过用变量分离应该没错..半个月没做 生疏了 你是高几学生？

追问

我高二的.你帮忙修改下咯.

追答

“若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 ”这个有歧义 你是说在[1,+无穷]单调递增 还是[1,+无穷]就是单调递增区间 这里就有一个恒成立与能成立的区别 原题是不是抄错了？

追问

前者 [1,+无穷]单调递增 肯定是这个

追答

那就是恒成立 你变量分离就行 变量分离知道吗/ 把a分离出来 然后看那边关于x的式子 如果是大于号就求那式子的最大值 小于号求最小值 注意区间开闭即等号能否成立 这个可以解决绝大部分恒成立问题 这种题在高考前不知会练多少遍 属于中档题 高考一般不太考

Answer 2

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x) 1-2=ln(x)-1,
0<x<e时,h'(x)<0, h(x)单调递减.
x>e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

f(x)=ax^2/2 2x,
x>=1时,f'(x)=ax 2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,
f'(x)=ax 2>=0,
ax>=-2,
ax>=-2>=-2x, a>=-2.
a的取值范围是a>=-2.

g(x)/x=ln(x)/x = f'(x)-(2a 1)=ax 2-(2a 1)=ax-2a 1, x>0.
ln(x)=ax^2 (1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 (2a - 1)x,
1/e<x<e,a>0.
s'(x)=1/x - 2ax 2a-1 = [-2ax^2 (2a-1)x 1]/x = [-2ax-1][x-1]/x = (2ax 1)(1-x)/x,
1/e<x<1时,s'(x)>0, s(x)单调递增. s(1/e)<s(x)<s(1).s(x)在1/e<x<1上至多有1个实根.
e>x>1时,s'(x)<0, s(x)单调递减. s(1)>s(x)>s(e).s(x)在e>x>1上至多有1个实根.
s(1/e)=-1-a/e^2 (2a-1)/e = [(2a-1)e-a-e^2]/e^2 = [a^2 - (a-e)^2 - a - e]/e^2 .
s(e)=1-ae^2 (2a-1)e=1-e ae(2-e)<0.
s(1)=a-1.
要使得s(x)在1/e<x<e上有2个不同的实根,则必须,s(1)>0, s(1/e)<0.
也即,
a>1,
0>(2a-1)e-a-e^2=a(2e-1)-e-e^2,
e e^2>a(2e-1),
a<(e e^2)/(2e-1).
(e e^2)/(2e-1)>(e e)/(2e-1)>(2e-1)/(2e-1)=1.
1<a<(e e^2)/(2e-1)时,方程g(x)/x=f'(x)-(2a 1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根