Question

圆锥曲线——抛物线

直线l与抛物线y²=x交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴相交于点M，且y1y2=-1
1)求证：M点的坐标为（1，0）
2）求证OA⊥OB
3）求三角形AOB面积的最小值

Answer 1

设直线y=kx+b
代入y²=x
得(kx+b)²=x
k²x²+2kbx-x+b²=0
k²x²+(2kb-1)x+b²=0
∵A（x1,y1),B(x2,y2)
∵直线过A,B点
∴y1=kx1+b，y2=kx2+b
∵y1y2=-1
∴(kx1+b)(kx2+b)=-1
k²x1x2+bk(x1+x2)+b²=-1
根据韦达定理
由A,B点满足k²x²+(2kb-1)x+b²=0
x1x2=b²/k²,x1+x2=(1-2kb)/k²
则b²+bk(1-2kb)/k²+b²=-1
2b²+(b-2kb²)/k+1=0
b/k+1=0
b=-k
得直线为y=kx-k
恒过1，0点

A:(x1,kx1-k),B(x2,kx2-k)
向量OA=x1，kx1-k
向量OB=x2，kx2-k
向量OA*向量OB=x1x2+(kx1-k)(kx2-k)
=(1+k²)x1x2-k²(x1+x2)+k²
∵x1x2=b²/k²,x1+x2=(1-2kb)/k²，b=-k
则x1x2=1，x1+x2=(1+2k²)/k²
∴向量OA*向量OB=(1+k²)-(1+2k²)+k²=0
∴OA⊥OB

由y=kx-k
OA⊥OB
S△AOB=OA*OB/2
= [√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]/2
则[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]/2
=0.5√(x1x2)²+(x1y2)²+(x2y1)²+(y1y2)²
=0.5√[x1*(k/x1-k)]²+[(1/x1)*(kx1-k)]²
=0.5√(k-kx1)²+(k-kx2)²
=0.5√[2k²-2k²(x1+x2)+k²x1²+k²x2²]
=0.5√[2k²-2k²(1+2k²)/k²+k²(x1+x2)²-k²x1x2]
=0.5√[k²+1/k²+2]

k²+1/k²≥2
S△AOB最小值为1
算死我了。。

去年期末考试也是这道题，这个过程老师给了满分。建议好好看看

Answer 2

解：(1)
证明：设直线l:x=my+n
联立x=my+n与y^2=x得：
y^2=my+n，y^2-my-n=0
由题意可知：y1,y2为该方程两实根
则由韦达定理得：
y1+y2=m,y1y2=-n
且判别式(-m)^2-4(-n)>0
又：y1y2=-1,则：-n=-1,n=1
则：直线l:x=my+1
令y=0,则：x=1
故l与x轴相交于点M

(2)证明：
向量OA*向量OB
=(x1,y1)*(x2,y2)
=x1x2+y1y2
=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=(1+m^2)y1y2+m(y1+y2)+1
=(1+m^2)(-1)+m(m)+1
=0
故向量OA垂直于向量OB
则OA⊥OB

(3)设d为O到l的距离
则：d=|-1|/√(1+m^2)=1/√(1+m^2)
又：|AB|=√(1+1/k^2) *|y1-y2|=√(1+m^2) *|y1-y2|
SΔAOB
=(1/2)*d*|AB|
=(1/2)|y1-y2|
=(1/2)√[(y1-y2)^2]
=(1/2)√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=(1/2)√(m^2+4)
由于判别式m^2+4n>0，故m属于R
则m^2+4属于[4,正无穷)
则S三角形AOB属于[1,正无穷)
故：三角形AOB面积的最小值为1

Answer 3

1>解：设M（x0，y0），直线AB方程为y=kx+b……（1）。
由题意，y1，y2异号。
1）当k趋向无穷，可得|y1|=|y2|=1.
M（1，0）
2）当k属于R时，y^2=x ……（2）
由（1）（2）得：ky^2-y+b=0
所以 y1y2=b/k=-1 → 直线AB方程为y=kx-k
所以直线AB恒过定点M(1,0)
综上，…………
2>证：k[OA]*k[OB]=（y1/x1）*（y2/x2）…………（3）
由 b/k=-1 得y1y2=-1
同理得x1x2=1
所以 [（3）左边] = -1
OA⊥OB

3>解：设直线方程为x=my+1。
h=|1|/[（1^2+m^2）^(1/2)]……（4）
Lab=（1^2+m^2）^(1/2)*|y1-y2|…………（5）
S=h*Lab/2=|y1-y2|/2=[(y1+y2)^2-4*y1y2]^(1/2)/2=(4+m^2)^(1/2)/2
又因为m属于R
所以[S]min=[s]|(m=0)=1

Answer 4

（1）设直线l的方程为x=my+n，则交点M的坐标为（n，0）
把直线方程代入抛物线方程中整理得：y^2-my-n=0
∴ -1=y1y2=-n,故n=1
∴M点的坐标为（1，0）
（2）∵向量OA·向量OB=x1x2+y1y2=(m^2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n^2
把y1y2=-n=-1，y1+y2=m，代入得：上式=-m^2-1+m^2+1=0
∴OA⊥OB
（3）S=1/2*OM*|y1-y2|=1/2*1*√(m^2+4)
∴当且仅当m=0时，S取得最小值1，

Answer 5

设圆心是(x,y)
它到y轴的距离是|x|
因为与y轴相切，所以|x|=圆的半径
因为与圆^2+y^2-4x=0外切
x^2+y^2-4x=0的圆心是(2,0),半径是2
所以(x,y)与(2,0)的距离等于两圆半径之和
因此(x-2)^2+y^2=(|x|+2)^2
x^2-4x+4+y^2=x^2+4|x|+4
如果x>0,轨迹方程是y^2=8x
如果x<=0,轨迹方程是y^2=0,不合题意，舍去
所以轨迹方程是y^2=8x