Question

初二几何题目求解，高手速进

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角分别交射线AC、CB于D、E两点，如图①②③是旋转三角板得到的图形的3种情况，由①②③研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图①加以证明。（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由）（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

Answer 1

．解：（1）连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；

（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2- ，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+ 时，此时PB=EB；

（3）MD：ME=1：3．
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵HB分之CH=MB分之AM ，HB=MH，
∴ MH分之MF=3分之1．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴ ME分之MD=MH分之MF=3分之1．

Answer 2

解：（1）连接PC．

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= 12∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

（2）共有四种情况：

①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；

②CE=2- 根号2，此时PB=BE；

③当CE=1时，此时PE=BE；

④当E在CB的延长线上，且CE=2+ 根号2时，此时PB=EB；

（3）MD：ME=1：3．

过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．

∴MH∥AC，MF∥BC．

∴四边形CFMH是平行四边形．

∵∠C=90°，

∴CFMH是矩形．

∴∠FMH=90°，MF=CH．

∵ CH/HB=AM/MB=1/3，HB=MH，

∴ MF/MH=1/3．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，

∴∠DMF=∠EMH．

∵∠MFD=∠MHE=90°，

∴△MDF∽△MEH．

∴ MD/ME=MF/MH=1/3．

Answer 3

PD=PE,PDCE为正方形
CE=0,2-√2,1
MD:ME=1/3,作MF垂直AC于F，MG垂直BC于G，则三角形AFM∽BGM，MF：MG=1：3，角FMG=90=DME，FMD=GME，三角形FMD∽GME，MD：ME=MF：MG=1/3

Answer 4

（1）相等，p在中点，ABC是等腰三角形，所以ADP与PEB全等，DPEC是正方形，所以PD等于PE
(2)分3种大情况，有4种，1.E与C重合，CE为0 2.BP=BE,CE=2-根号2 3即为图一，CE=1
4,E在延长线上，BE=BP,,CE=2+根号2
（3）过M,做垂直MF垂直与AC ,MG垂直于CB,MFD相似于MGE，所以ME:MD=3:1