Question

已知向量m=(2sinx,cosx),n=(根号3cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(m*n-1)(a>1)

已知向量m=(2sinx,cosx),n=(根号3cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(m*n-1)(a>1)
1)求f(x)的最小正周期
2）确定函数f(x)的单调 递增 区间

Answer 1

解：
mn-1=2sinx*√3cosx+cosx*2cosx-1
=2√3sinxcosx+2cos^2x-1
=√3sin2x+cos2x
=2(sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6)
=2sin(2x+π/6)
loga(mn-1)=loga[2sin(2x+π/6)]
所以最小正周期为2π/2=π
当a>1,则当2sin(2x+π/6)单调增时f(x)单调增，
即：2kπ<2x+π/6≤2kπ+π/2
2kπ-π/6<2x≤2kπ+π/2-π/6
kπ-π/12<x≤kπ+π/6
所以函数f(x)的单调递增区间为（kπ-π/12，kπ+π/6］

Answer 2

解：
∵m=(2sinx,cosx), n=(√3cosx,2cosx)
∴mn=(2√3)sinxcosx+2cos²x
=√3sin2x+1+cos2x
=2sin[2x+(π/6)]+1
∴mn-1=2sin[2x+(π/6)]
∴函数f(x)=loga{2sin[2x+(π/6)]}
【1】
∴T=π。
【2】
由“真数须大于0”及“复合函数单调性性质”可知
2kπ＜2x+(π/6)≤2kπ+(π/2)
kπ-(π/12)＜x≤kπ+(π/6)
即该函数的单调递增区间为
(kπ-(π/12),kπ+(π/6)] k∈Z

Answer 3

f(x)=loga（根号3sin2x+cos2x）=loga2sin(2x+30) 再用“同增异减”的方法做 （1）最小正周期是 π (2)单调递增区间是 [-π/2+2kπ,π/2+2kπ] k属于整数

Answer 4

第二问 应该有两种情况，分别为 当a>1和0<a<1，再根据复合函数的性质就可以求出来了