Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a+b+c=10,cosC=7/8 ，求三角形面积的最大值

Answer 1

sinC=√（1-cos²C)=√15/8
a+b=[(3/8)ab+10]/2≥2√(ab)
设x=√(ab)
(3/16)x²-2x+5≥0
x≤4 或x≥20/3
ab≤16或ab≥400/9
a+b<10
ab≤[(a+b)/2]²<25
ab≤16
S△ABC=(1/2)*ab*sinC≤(1/2)*16*√15/8=√15

Answer 2

sinC=√15/8
S△ABC=(1/2)*ab*sinC
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(10a+10b-50)/(ab)-1=7/8
2(a+b)-10=(3/8)ab
∴a+b=[(3/8)ab+10]/2≥2√(ab)
∴ab≤16或ab≥400/9
ab<25
ab≤16
S△ABC≤(1/2)*16*√15/8=√15

Answer 3

cosC=[a²＋b²－c²]/(2ab)=7/8，即a²＋b²－[10－a－b]²=(7/4)ab，20(a＋b)=100＋(15/4)ab，因a＋b≥2√ab，则：100＋(15/4)ab≥40√ab，解得√ab≥20/3(舍)或√ab≤4，则ab的最大值是16，所以面积最大是√15