Question

已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:3的a次方+3的b次方<4

Answer 1

解：
设f(x)
=3^x+3^(1-x)
f'(x)=ln3[3^x -3^(1-x)]
由f'(x)=0得x=1/2，
当0＜x＜1/2时，f'(x)＜0，
当1/2＜x＜1时，f'(x)＞0，
所以 f(x)在(0,1)上的最大值为f(0)和f(1)中的较大值，
f(0)=f(1)=4，
所以 f(x)=3^x+3^(1-x)＜4，
取x=a，1-x=b，即得
3^a+3^b<4 .

Answer 2

3^a + 3^b = 3^a + 3^(1-a) =f(a)
f'(a) = 3^a ln3 - 3^(1-a) lna = ln3 (3^a - 3^(1-a))
if a > 1/2, f'(a) > 0
if a < 1/2, f'(a) < 0
So, max{f(a)} < max{f(0), f(1)} = max{4, 3^(1/2) + 3^(1/2)} = 4
3的a次方+3的b次方<4

Answer 3

3^a+3^b=3^a+3/3^a≥2√3，当且仅当3^a＝√3时成立，此时a=b=1/2
可以看出，刚好是区间(0,1)的中点，因此，f(a)=3^a+3/3^a在（0，1/2）单减，在（1/2，1）单增，在端点处取得最大值4
是开区间，所以2√3≤3^a+3/3^a＜4

Answer 4

3的(a+b)次方=3的a次方x3的b次方=3
3的a次方+3的b次方-(3的a次方x3的b次方+1)
=3的a次方+3的b次方-3的a次方x3的b次方-1
=3的a次方x(1-3的b次方)-(1-3的b次方)
=(3的a次方-1)(1-3的b次方)
因为a>0,b>0，所以3的a次方>1,3的b次方>1,所以上式<0,
3的a次方+3的b次方-(3的a次方x3的b次方+1)<0
3的a次方+3的b次方<(3的a次方x3的b次方+1)=4

Answer 5

设y=3**a+3**b，题目就等价于证明y的最大值不超过4，
因为a+b=1,所以y=3**a+3**b可以化为：
y=3**a+3**（1-a),a的范围是（0,1）
=3**a+3*3**（-a)
=3**a+3/(3**a)
因为设t=3**a，那么t的范围是（1,3） ，所以进一步化为y=t+3/t,
根据不等式，这个函数在t=3**(1/2)，也就是t等于3的平方根时取最小值，还可以证明出在（1，1.732...)之间时y是递减的函数，在（1.732...，3)之间时递增的函数，分别代入1,3可知y的最大值均为4，由于t的取值区间为开区间不包括端点，故而最大值4是得不到的，而总是小于4.
证明在区间（1,3）是增函数的方法，假如你会求到的话是很容易明白的；
假如你不知道求导的方法，那么直接在两个区间用函数作差的方法也很容易得出。

Answer 6

楼上的写的正确呢。