Question

PA垂直于底面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证平面DMN垂直于平面PCD？？？

PA垂直于底面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证平面DMN垂直于平面PCD？？？

Answer 1

您好！
证明：设AC交BD于点O,取CD的中点Q点。
在三角形PAC中，ON是中位线，
所以ON//PA,且PA=1/2PA.
已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，
所以PA垂直CD，
所以ON垂直CD;OM是三角形ABC的中位线，
所以OM//AD,且OM=1/2AD。
四边形ABCD是矩形，
所以AD垂直CD,所以OM垂直CD,CD垂直平面OMN,所以CD垂直MN.
在三角形PDC中，NQ是中位线，QN//PD,又OQ//AD
所以角NQO=角PDA=45.ON//PA，PA垂直ABCD所以平面，
所以ON垂直ABCD所在平面，
则ON垂直OQ,所以角ONQ=45,
ON=1/2PA,OM=1/2AD,
所以OM=ON,角MNO=45,,
所以角MNQ=90,即MN垂直NQ.
NQ和CD是两条相交直线，
所以DMN垂直平面PCD

追问

有没有稍微简单一点的方法呢？如果取PB中点可以怎么证？

追答

对不起，刚才下了一小会儿，抱歉~~~~(>_<)~~~~
连接MN,过M点作直线MO平行于DC,且交PD于O点,连接OA
则MO为三角形PDC的中位线
所以MO平行且等于1/2DC
因为N为AB中点
所以平行且等于1/2DC
所以四边形AOMN为平行四边形
所以MN平行于OA,AN平行于MO
因为PA垂直平面ABCD
所以PA垂直于AB,且PA垂直于AD
因为ABCD为矩形
所以AB垂直于AD
因为PA属于平面PAD,AD也属于平面PAD,PA、AD交于A点
所以BA垂直于平面PAD
所以BA垂直于OA
因为AN平行于MO
所以OA垂直于MO
因为PA=AD
所以三角形PAD为等腰三角形
因为O为PD中点
所以OA垂直于PD
因为OM交PD于O
所以OA垂直于平面PAC
因为MN平行于OA
DMN垂直平面PCD
取PB中点你自己算吧。就上面的方法，没时间答了

Answer 2

给个图：