Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=1-an.(1)求{an}的通项公式an;(2)令bn=(2n+3)an,求数列{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

(1)2Sn=1-an
则2S(n-1)=1-a(n-1) ；Sn-S(n-1)=an
那么2an=a(n-1)-an，即an=1/3a(n-1)——等比数列，公比为1/3；
根据2Sn=1-an，有2a1=1-a1，a1=1/3
综上，an=(1/3)^n
(2)bn=(2n+3)an=(2n+3)*(1/3)^n=2n*(1/3)^n+3*(1/3)^n
bn分为两部分，后一部分为等比数列，公比1/3，首项为3，则n项和可由公式得，为9/2*[1-(1/3)^n]
前一部分，令其前n项和为Qn，则
Qn=1*(1/3)+2*(1/3)^2+3*(1/3)^3+……+(n-1)*(1/3)^(n-1)+n*(1/3)^n
则3Qn=1+2*(1/3)+3*(1/3)^2+4*(1/3)^3+……+(n-1)*(1/3)^(n-2)+n*(1/3)^(n-1)
上下想减，得2Qn=1+(1/3)+(1/3)^2+(1/3)^3+……+(1/3)^(n-1)-n*(1/3)^n
=3/2-(n-3/2)*(1/3)^n
则Tn=Qn+9/2*[1-(1/3)^n]=1/2[3/2-(n-3/2)*(1/3)^n]+9/2*[1-(1/3)^n]=21/4-(15/4+n/2)*(1/3)^n
方法就是这样，不过计算过程可能你还得检查下……

Answer 2

2s(n)=1-a(n)
2a(1)=2s(1)=1-a(1),a(1)=1/3.
2a(n+1)=2s(n+1)-2s(n)=1-a(n+1)-1+a(n)
a(n+1)=(1/3)a(n)
{a(n)}是首项为(1/3),公比为1/3的等比数列。
a(n)=1/3^n
b(n)=(2n+3)a(n)=(2n+3)/3^n=2n/3^n+1/3^(n-1)
C(n)=1/3+2/3^2+3/3^3+...+(n-1)/3^(n-1)+n/3^n
3C(n)=1+2/3+3/3^2+...+(n-1)/3^(n-2)+n/3^(n-1)
2C(n)=3C(n)-C(n)=1+1/3+1/3^2+...+1/3^(n-1) - n/3^n
=[1-1/3^n]/(1-1/3) - n/3^n
=(3/2)(1-1/3^n)-n/3^n
t(n)=2C(n)+[1+1/3+...+1/3^(n-1)]
=(3/2)(1-1/3^n) - n/3^n + (1-1/3^n)(1-1/3)
=3(1-1/3^n)-n/3^n
=3-(n+3)/3^n

Answer 3

等差，等比还是别的？