Question

利用单调有界准则证明数列｛Xn｝收敛，并求其极限

设X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),利用单调有界准则证明数列｛Xn｝收敛，并求其极限.
谢谢。

Answer 1

如下：

首先，由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)，得所有Xn>0(n为自然数)。（由这个公式，可知Xn+1与Xn符合相同，而X1大于0，因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础）
其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab)。

因此Xn>=1(n>1)由单调有输准则，数列{Xn}收敛，由上可知，其极限=1。

任一项的绝对值都小于等于某一 正数的数列。有界数列是指 数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。

单调有界定理：若数列{an}递增有上界（递减有下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。

Answer 2

首先，由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)，得所有Xn>0(n为自然数)。（由这个公式，可知Xn+1与Xn符合相同，而X1大于0，因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础）
其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab)。因此Xn>=1(n>1)
最后证明单调性：Xn+1-Xn=1/2(1/Xn-Xn)。因为Xn>=1，因此1/Xn<Xn，因此Xn+1-Xn<0。因此该数列单调递减。
由单调有输准则，数列{Xn}收敛。

由上可知，其极限=1

Answer 3

证明: x1=a>0 （我认为此处应该a>1)
a=1为常数列
利用数学归纳法 x1>x2 x2=1/2(a+1/a)
xk<xk+1 xk+1-xk+2=xk+1-1/2(xk+1+1/xk+1)=xk+1/2-1/(2xk+1)=(xk+1^2-1)/(2xk+1)<0
xk+1=1/2(xk+1/xk)>1 均值不等式
即数列为单调递减 由题设可知xn有下界
单调递减有下界的数列必有极限
设极限值为A A=1/2(A+1/A)=> A=1 望采纳 谢谢