Question

已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数，当x属于[-1,2]时，f(x)的最小值为1，且 g(x)+f(x)是奇函数，求f(x)表达

Answer 1

解：
∵f(x)是二次函数
可设为f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)
∴f(x)＋g(x)＝(a－1)x²＋bx＋c－3
又f(x)＋g(x)是奇函数
∴a＝1，c＝3
∴f(x)＝x²＋bx＋3，对称轴x＝－b/2
当－b/2≥2，即b≤－4时，f(x)在[－1，2]上为减函数
∴f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1
∴b＝－3
∴此时无解
当－1＜－b/2＜2，即－4＜b＜2时
f(x)min＝f(－b/2)＝3－b²/4＝1
∴b＝±2√2
∴b＝－2√2，此时f(x)＝x²－2√2x＋3
当－b/2≤－1，即b≥2时，f(x)在[－1，2]上为增函数
∴f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1
∴b＝3
∴f(x)＝x²＋3x＋3
综上所述：f(x)＝x²－2√2x＋3或f(x)＝x²＋3x＋3

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c,则g(x)+f(x,)=(a-1)x^2+bx+c-3 因为g(x)+f(x)是奇函数，所以
g(-x)+f(-x)=-[g(x)+f(x)]，即(a-1)(-x)^2+b(-x)+c-3=-[(a-1)x^2+bx+c-3]，则化简可得
2(a-1)x^2+2c-6=0，则a-1=0，2c-6=0，解得a=1，c=3，故f(x)=x^2+bx+3
1)当-b/2<-1时，即b>2时，f(x)的最小值为f(-1)=1-b+3=1,则b=3，与b>2矛盾
2)当-1≤-b/2≤2，即-4≤b≤2时，f(x)的最小值为f(-b/2)=3-b^2/4=1，则可得b^2=8，则b=±2√2
又-4≤b≤2，所以b=-2√2
3)当-b/2>2，即b<-4时，f(x)的最小值为f(-2)=4-2b+3=1，则b=3，与b<-4矛盾。
综上所述，b=-2√2
故f(x)表达式为 f(x)=x^2-2√2x+3

Answer 3

设f(x)=ax^2+bx+c
由于f(x)+g(x)为奇函数
所以f(0)+g(0)=-{f(0)+g(0)}
所以f(0)+g(0)=0
化得：a*0^2+b*0+c-0^2-3=0
所以：c=3
有f(x)+g(x)为奇函数又可以推出：
对于任何的实数都有
f(x)+g(x)=-{f(-x)+g(-x)}
化得：-x^2-3+ax^2+bx+3=-{-x^2-3+ax^2-bx+3}
-x^2-3+ax^2+bx=x^2-3-ax^2+bx
所以（2-2*a）x^2=0
由于对任意的x属于R都成立
所以（2-2*a）=0
得：a=1
所以f(x)=x^2+bx+3
由于f(x)在[-1,2]存在最小值为1
二次函数的特征可以知道
要使得取得最小值
只有可能在对称轴上，或想x=-1或则x=2
假设在对称轴上
则有f（-b/(2a)）=f（-b/2）=(b^2/4)-(b^2/2)+3=1
得：b^2=8
b=+2*根号2，-2*根号2
-b/2*a=根号2或者-根号2
由于(-根号2)不在xx属于[-1,2]下
所以不可能取得即b=+2*根号2不满足
假设是在x=-1取得
代入f（-1）=1-b+3=1
所以b=3
则对称轴位置为—（b/2a）=-3/2
此时x属于[-1,2]都在对称轴的右边
所以x属于[-1,2]在x=-1处取的最小值满足
所以b=3可行
假设在x=2处取的最小值
则f（2）=4+2b+3=1
所以b=-3
此时对称轴-（b/2a）=3/2
此时对称轴在x属于[-1,2]之内
所以最小值应该在对称轴位置取得
与假设矛盾舍去
综上所述
f（x）=-x^2-2根号2x+3
或者f（x）=-x^2+3x+3

Answer 4

囧了

Answer 5

f(x)=ax^2+bx+c
f(x)+g(x)为奇函数
则f(x)+g(x)=-[f(-x)+g(-x)]
ax^2+bx+c-x^2-3=-(ax^2-bx+c-x^2-3)
(2a-2)x^2+2c-6=0
则a=1
c=3
所以f(x)=x^2+bx+3=(x+b/2)^2+3-b^2/4
1'-b/2属于[－1,2]
则最小值为3-b^2/4=1
b=2√2或者b=-2√2
均不属于[－1,2]所以舍去
2'-b/2<-1时
b>2
最小值为x=-1时取得
f(-1)=1-b+3=1
b=3
满足
3'-b/2>2时
b<-4
最小值为x=2时取得
f(2)=4+2b+3=1
b=-3
不属于b<-4
舍去
所以y=x^2+3x+3