Question

一道初二数学几何题

题目：在平行四边形ABCD中，沿BD对折，
1. 连接AF，若角ABD不等于90度，求证四边形ABDF是等腰梯形
2. 将折叠图形展开，点M是边BC上的一点，当M在什么位置时，四边形BMDE是菱形

Answer 1

1，∵AD∥BC
∴∠EBD=∠CBD=∠EDB=1/2(180-∠BED)
∴EB=ED
∵AD=BC=BF
∴AE=EF
∴∠EAF=∠EFA=1/2(180-∠AEF)
而∠AEF=∠BED
∴∠EAF=∠EFA=∠EBD=∠EDB
∴AF∥BD
∵角ABD=∠BDC=∠BDF≠90度
∴AB于DF不可能平行
而AB=CD=DF
∴ABDF为等腰梯形
2，当BE=BM时，四边形BMDE是菱形

Answer 2

ΔABD与ΔFDB全等（边角边）
所以AB=FD
连AF,ΔABE与ΔFDE全等（角角边）
推知AF与BD平行
得证

当AE=CM时

Answer 3

1，利用SSS（边边边）可以证明三角形ABD与三角形BFD全等，也可以证明三角形ABF与三角形AFD全等，所以角BAF=角DFA，角ABD=角FDB，四个角相加为一个四边形的内角和等于360度
所以角BAF+角ABD=180，所以AF平行于BD，妇AB=FD，得证
2，由上（三角形ABD与三角形BFD全等）可知，角EBD=角EDB，所以EB=ED过E点作BD的垂线交BC于M点，因为角EBD=角DBC（对折）可证明BM=BE=DE，此时四边形BMDE是菱形。
结论：当BM=DE时，四边形BMDE是菱形。

Answer 4

第一个问题：
连结AE。
∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝DA，∠CBD＝∠BDE。
∵△BFD是△BCD沿BD对折而得，∴两三角形是关于BD对称的，
∴∠DBE＝∠CBD，FD＝CD，BC＝BF。
由∠CBD＝∠BDE，∠DBE＝∠CBD，得：∠BDE＝∠DBE，∴BE＝DE。
由BC＝BF，BC＝DA，得：BF＝DA，结合证得的BE＝DE，得：AE＝FE。
由BE＝DE，AE＝FE，得：FE/BE＝AE/DE，∴AF∥BD。
由AB＝CD，FD＝CD，得：AB＝FD，结合证得的AF∥BD，得：ABDF是等腰梯形。

第二个问题：
当AE＝CM时，BMDE是菱形。证明如下：
∵AE＝FE，AE＝DM，∴FE＝CM，∴点E与点M是关于BD的对称点。
由对称图形性质，得：BE＝BM，DE＝DM，结合证得的BE＝DE，得：BE＝DE＝DM＝BM，
∴BMDE是菱形。