Question

在三角形ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列

求
1。若sinC=2sinA，试求三角形ABC的最大内角的余玄值
2 求sinB+cosB的取值范围

Answer 1

1、因为三角形最多有一个角是钝角，且sinC=2sinA，所以最大内角是C
由余弦定理：cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab 又正弦定理，cosC=[(sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2]/2sinAsinB
又b^2=ac，(sinB)^2=sinAsinC=2(sinA)^2，sinB=√2sinA
以sinA代入sinB、sinC，得cosC=-√2/4
2、sinB+cosB=sin(B+π/4)，因为0<B<π/2，sinB+cosB>0
(sinB+cosB)^2=1+2sinBcosB=1+2√{1/4-[(cosB)^2-1/2]^2}，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+c^2)/2b^2-1/2>=1/2(a=b=c时取=)，又cosB<1，故0<B<=π/3，1<(sinB+cosB)^2<=2，当B=π/4时取最大值，1<sinB+cosB<=√2