Question

已知正数列{an}的前n项和为{sN},且Sn=1/2（an+1/an）,求数列的通项公式

Answer 1

尝试取值猜测，取n=1，S1=1/2a1+1/2a1 -> a1=1/2(a1)+1/2(a1) -> (a1)²=1 因为{an}为正数列，所以a1=1
S2=a1+a2=1+a2=1/2（(a2)+1/(a2)）-> 解方程 得 a2=±√2-1 -> 因为{an}为正数列，所以a2=√2-1
S3=1+√2-1+a3=√2+a3=1/2（(a3)+1/(a3)）-> 解方程并根据{an}为正数列，得到a3=√3-√2
同理，得到a4=√4-√3 所以猜测 an=√n-√(n-1)，若an=√n-√(n-1)，有如下各项
an=√n-√(n-1)
a(n-1)=√(n-1)-√(n-2)
a(n-2)=√(n-2)-√(n-3)
：
：
a2=√2-√1
a1=√1-√0
将各项相加，每一项都会被前一项的被减数和后一项的减数消掉。最后留下√n-√0=√n
所以如果存在an=√n-√(n-1)，那么必定有Sn=√n
使用数学归纳法，猜测an的通项公式为an=√n-√(n-1)。
取n=1，a1=√1-√(1-1)=1-0=1；S1=√n=√1=1
a1=S1，所以当n=1时，an=√n-√(n-1)成立。
假设n=k时，ak=√k-√(k-1)成立，那么根据条件，此时Sk=√k也成立。
令n=k+1，S(k+1)=Sk+a(k+1)=√k+a(k+1) ……①式
另一方面，根据条件，得到S(k+1)=1/2（a(k+1)+1/a(k+1)）……②式
通过①②式联立方程，解方程，得到a(k+1)=±√(k+1)-√k 因为{an}为正数列，舍去-√(k+1)-√k。因为√(k+1)-√k>0，所以a(k+1)=√(k+1)-√k
当n=k+1时，an=√n-√(n-1)也成立。
综上，an的通项公式为an=√n-√(n-1)。

Answer 2

消an 得Sn^2-Sn-1^2=1，可求Sn，再求an

追问

求完Sn，再求an的具体过程？

Answer 3

解：消an 得Sn^2-Sn-1^2=1，可求Sn，再求an

追问

求完Sn，再求an的具体过程?

Answer 4

消an 得Sn^2-Sn-1^2=1，可求Sn，再求an ,可得数列的通项公式

追问

求完Sn，再求an的具体过程?

Answer 5

设正数列{an}为{a1,a2,a3,┄┄an}, 则数列{sN}为{a1,(a1+a2),(a1+a2+a3),┄┄+(a1+a2+a3+┄+an)}
Sn=1/2(an+1/an), S1=1/2(a1+1/a1),a1=1/2(a1+1/a1),得a1=1; S2=1/2(a2+1/a2)=a1+a2=1+a2,
得a2=√2-1; S3=1/2(a3+1/a3)=a1+a2+a3=1+√2-1+a3,得a3=√3-√2.
设a(n-1)=√(n-1)-√(n-2)成立，Sn=1/2(an+1/an)=a1+a2+a3+┄+a(n-1)+an=√(n-1)+an
1/2(an+1/an)=√(n-1)+an, (an)²+2√(n-1)*an-1=0, an={-2√(n-1)±√[4(n-1)+4]}/2=-√(n-1)±√n
取an=√n-√(n-1) 则 an=√n-√(n-1)成立。 数列的通项公式为an=√n-√(n-1)