Question

在三角形ABC中，设a,b,c分别为A,B,C的对边，已知acosB=bcosA,cosC=3/4若a+c=2+根号2求三角形ABC的面积

Answer 1

acosB=bcosA
由正弦定理化为角的形式
sinAcosB-sinBcosA=0
sin(A-B)=0
则A=B
所以三角形ABC是等腰三角形，故a=b
由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC
即c^2=2a^2-2a^2*(3/4)=a^2/2
c=(√2/2)a
已知a+c=2+根号2
a=2
由sinC=√[1-(cosC)^2]=√7/4
所以三角形ABC的面积=(1/2)absinC
=(1/2)a^2sinC
=(1/2)*2^2*(√7/4)
=√7/2

Answer 2

因 acosB=bcosA
又 a sinB=b sinA ...(正弦定理)
∴ sinB/cosB = sinA /cosA
tanB = tanA
B = A
∴ a=b
又
cosC= (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) ...(余弦定理)
= (2a^2 - c^2) / (2a^2)
= 1 - c^2 / (2a^2)
= 3/4
即 c^2 / (2a^2) = 1/4
c^2 / a^2 = 1/2
a = √2 * c
联立 a+c=2+√2 解方程组, 得
c = √2 , a = 2
则 b=a=2

半周长 s=(a+b+c)/2 = 2 + √2/2
三角形ABC的面积：
S = √{ s (s-a) (s-b) (s-c) }
= √{ (2+√2/2)(2+√2/2-2)(2+√2/2-2)(2+√2/2-√2) }
= √{ (2+√2/2)(√2/2)(√2/2)(2-√2/2) }
= √{ (1/2)(4-1/2) }
= √7/2