怎么判断级数的收敛性？
1、正项级数比较判别法
简而言之，小于收敛正项级数的必然收敛，大于发散正向级数的必然发散。其中可以存在倍数关系，可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式，就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。
2、任意项级数阿贝尔判别法
其中一组级数收敛；另一组级数单调有界；那么二者的乘积构成的级数收敛。
绝对收敛
一个收敛的级数，如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。
简单的比较级数就表明，只要∑｜un|收敛就足以保证级数收敛；因而分解式（不仅表明∑｜un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。由此易见，绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。
但是条件收敛的级数，即收敛而不绝对收敛的级数，决不可以这样。这时式右边成为两个发散（到＋∞）的、其项趋于零的、正项级数之差，对此有黎曼定理。
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利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。
对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；
如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么很难判断，通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。
判断级数的收敛性：
首先，从数项级数的定义入手，了解和掌握数项级数收敛的定义，挖掘出部分和数列收敛判别法、余和判别法；
其次，掌握数项级数收敛的性质，推导出夹逼定理和奇、偶子级数收敛判别法、Cauchy收敛准则；
再次，讨论特殊的级数――正项级数的收敛方法：有界性判别法，比较判别法，Cauchy积分判别法，比率判别法，Cauchy根值判别法；
最后，研究一般项级数的收敛方法：交错级数的Leibniz判别法，Dirichlet判别法。
2.看是什么级数，交错级数转到3；正项级数转到4.
3.交错级数用莱布尼兹审敛法，通项递减趋于零就是收敛。
4.正项级数用比值审敛法，比较审敛法等，一般能搞定。搞不定转5.
5.看看这个级数是不是哪个积分定义式，或许能写成积分的形式来判断，如果积分出来是有限值就收敛，反之发散。如果还搞不定转6。
6.在卷子上写“通项是趋于0的，因此可以进一步讨论”。写上这句话，多少有点分。回去烧香保佑及格，OVER！
前提：两个正项级数∑n=1→ ∞an，∑n=1→ ∞bn满足0<=an<=bn
结论：若∑n=1→ ∞bn收敛，则∑n=1→ ∞an收敛
若∑n=1→ ∞an发散，则∑n=1→ ∞bn发散。
建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。
常规收敛和绝对收敛
常规收敛和绝对收敛是级数在传统意义下的两个可和法，这里只是出于完整性的考虑才加以讨论；严格来说，它们并不算是发散级数的可和法，这是因为只有当这些可和法失效时，我们才说一个级数发散。大部分发散级数的可和法都是这两个可和法在更大一类序列上的延拓。
给定收敛到s的收敛级数a，倘若任意置换级数a的项得到级数a′后，a′收敛也总是收敛到s，则称级数a是绝对收敛的。
在这个定义之下可以证明，一个级数收敛当且仅当取它每一项绝对值后得到的新级数在经典意义下收敛。有些地方会将后者作为绝对收敛的定义，但由于不涉及绝对值的概念，所以前者的定义更有一般性。
