Question

求助一个数学问题

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ 1/2ax^2＋bx，a≠0.设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N点处的切线平行？若存在，求出R点横坐标：若不存在，请说明理由

Answer 1

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(1/2)ax^＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证实C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

（Ⅰ）h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间--->
h'(x)=(1/x)-(ax+b)＜0有解
∵x＞0--->ax^+2x-1＞0有解--->a≥0显然成立
a＜0时，判别式=4+4a＞0------>a＞-1

（Ⅱ）设交点坐标为 P(2p,2p1),Q(2q,2q0),p≠q>0
--->h(2p)=h(2q)=0
即：ln(2p)-[2ap^+2bp]=0, ln(2q)-[2aq^+2bq]=0
两式相加：ln(4pq)=2[a(p^+q^)+b(p+q)]
--->2a(p^+q^)+b(p+q)=ln4+ln(pq)..........(1)

PQ的中点O坐标为（p+q,p1+q1)
假设，C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行
--->h'(p+q)=1/(p+q)-[a(p+q)+b]=0
--->a(p+q)^+b(p+q)-1=0
--->a(p^+q^)+b(p+q)=1-2apq...............(2)

(1)(2): 解：1，h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，所以其导函数<0在（0，+无限大）上有解集。1/x-ax+2<0,(1-ax2+2x)/x<0.等价于二次方程
1-ax2+2x=0至少有一个正根。解得，a>0

Answer 2

说实话，我还没学这个，怎么还有圆，不过你可以在百度上搜一下