Question

两道线性代数问题，麻烦老师给下过程，多谢了。

Answer 1

(1)
第1列提出a1, 第4行提出b4
行列式 = a1b4*
b1 a1b2 a1b3 a1b4
b2 a2b2 a2b3 a2b4
b3 a2b3 a3b3 a3b4
1 a2 a3 a4

c2-a2c1,c3-a3c1,c4-a4c1
b1 a1b2-a2b1 a1b3-a3b1 a1b4-a4b1
b2 0 a2b3-a3b2 a2b4-a4b2
b3 0 0 a3b4-a4b3
1 0 0 0

按第3行展开
行列式 = -a1b4*
a1b2-a2b1 a1b3-a3b1 a1b4-a4b1
0 a2b3-a3b2 a2b4-a4b2
0 0 a3b4-a4b3
= -a1b4(a1b2-a2b1)(a2b3-a3b2)(a3b4-a4b3)

(2)
解: 记原行列式为D5
所有列加到第1列
1 a 0 0 0
0 1-a a 0 0
0 -1 1-a a 0
0 0 -1 1-a a
-a 0 0 -1 1-a

按第1列展开
D5=D4+(-1)^7a^5
=D3+(-1)^6a^4-a^5
=D2+(-1)^5a^3+a^4-a^5
=D1+(-1)^4a^2-a^3+a^4-a^5
=1-a+a^2-a^3+a^4-a^5.