Question

如图5,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF//AB,且EF交BC于点F

（1）如图5,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF//AB,且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当DE\AE时，有EF=(a+b)\2…………………………………………………………参照上述研究结论，请你猜想K表示DE的一般结论，并给出证明：（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图6所示），其中AB//CD,AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米。若要将这块地分割成两块，由两农户承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等请你给出具体的方案。 这是一道江苏连云港的题目，不清楚是几几年的

Answer 1

分析：（1）本题可通过构建相似三角形来求解．过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．那么四边形HCGB就是平行四边形，HC=BG=EF，因此HD=EF-a，AG=b-EF，那么可根据相似三角形HED和GEA得出的关于DH，AG，DE，AE的比例关系式，即可求出所求的比例关系式；
（2）可按照（1）的思路进行求解．在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，可先设DE：AE=k，那么可用k表示出DE和EF的长．由于被EF平分的两部分面积相等，因此梯形ABCD的面积=2×梯形DEFC的面积，由此可求出梯形DEFC的面积，然后根据DE，EF的长，表示出梯形DEFC的面积即可得出关于k的方程，经过解方程即可得出k的值，进而可确定具体的分割方案．
解答：解：（1）猜想得：EF= (a+kb)/(1+k)．
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴ DHAG=DEAE，
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴ (EF-a)/(b-EF)=k，可得 EF=(a+kb)/(1+k)；

（2）在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，设 DE/AE=k，
则EF= (170+310k)/(1+k)， DE=70k/(1+k)，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，
∴ (170+310)/2 ×70=2/2× [170+(170+310x)/(1+x)]× (70k)/(1+k)，
化简得12k²-7k-12=0解得： k1=4/3， k2=-3/4（舍去），
∴DE= (70k)/(1+k)=40，
所以只需在AD上取点E，使DE=40米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．

Answer 2

过D作DN∥BC，交EF于M
AB∥CD∥EF
四边形DMFC为平行四边形
DC＝MF=NB＝a
DE/AE＝k
DE＝k*AE
DA＝DE+AE＝k*AE+AE＝（1+k）*AE
AN＝AB-NB＝b-a
DE/DA＝EM/AN
EM＝AN*DE/DA
=(b-a)*k*AE/(1+K)AE=(b-a)*k* /(1+k)
EF=EM+MF=a+ (b-a)*k* /(1+k)=(a+b*k)/(1+k)(1)EF=(a+b*1)/(1+1)=(a+b)/2(2)EF=(a+b*2)/(2+1)=(a+2b)/3(3)EF=(a+b*3)/(3+1)=(a+3b)/4

Answer 3

450

Answer 4

213123123