Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2,BC=3，点E为AD边上一动点（不与A、D重合），连接CE，作EF⊥CE交AB边于F。

（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）当△ECF∽△AEF，求AF的长；
（3）在点E的运动过程中，AD边上是否存在异于点E的点G，使△AGF∽△DCG成立？若存在，请猜想点G的位置，并给出证；若不存在，请说明理由。
不好意思图弄错了

Answer 1

1．
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角　角　角)　证毕。
2．
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答：AF的长度为9/8。
3．
存在G点。
设：AF= a　且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2　　0＜a≤9/8
当0＜a＜9/8时 AG1大于1.5 小于3， AG2大于0小于1.5，
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A，那么G点可靠近D。证毕。

Answer 2

1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=3/2，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF3/2：=3/2：2，
∴AF=9/8；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．

Answer 3

分析：（1）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，则∠AEF+∠AFE=90°，由EF⊥CE，则∠AFE=∠CED，得到∠AFE=∠CED，根据三角形相似的判定即可得到结论；
（2）由△AEF∽△DCE，根据相似的性质得到AF：ED=EF：CE，同理由△ECF∽△AEF得EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，则AE=ED=
32；再由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，代值即可求出AF；
（3）讨论：①当AE=DE，点G不存在；②当AE≠DE，存在点G且AG=DE，由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，当AG=DE，则DG=AE，得到AF：AG=DG：DC，根据三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=32，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF：32=32：2，
∴AF=98；

（3）猜想：①当AE=DE，点G不存在；
②当AE≠DE，存在点G且AG=DE．证明如下：
如图，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组对应角相等的三角形相似；有两组对应边的比相等，且它们的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了矩形的性质．

Answer 4

1．
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角　角　角)　证毕。
2．
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答：AF的长度为9/8。
3．
存在G点。
设：AF= a　且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2　　0＜a≤9/8
当0＜a＜9/8时 AG1大于1.5 小于3， AG2大于0小于1.5，
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A，那么G点可靠近D。证毕。

Answer 5

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/9b4a0d3c-b1d4-4bd1-9edb-ad58e1f247ac?a=1

Answer 6

把图中点的位置标清楚

追问

图