Question

求一道高数题答案。

将函数f(x)=xarctan[(1+x)/(1-x)]展开成x的幂级数。要完整的步骤，我不会做

Answer 1

星光的结果应该没错，其实注意到一个等式的话，这个题就比较简单了
tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=πx/4+xarctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|<1
1/1-x=1+x+x^2+....
1/1+x^2=1-x^2+x^4-x^6+...
所以arctanx的展开式就是上式各项积分，结果乘个x就是你要求的东东。

Answer 2

令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4
∫[0->x]g'(t)dt = g(x)-g(0)=g(x)-π/4
g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)²/(1-x)²]=1/(1+x²)
g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x] 1/(1+t²)dt+π/4
易知1/(1+t²)=1-t^2+t^4-t^6+…… |t|<1
g(x)=π/4+∫[0->x] (1-t^2+t^4-t^6+……) dt
=π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
f(x)=xg(x)=πx/4+(x^2-x^4/3+x^6/5-x^8/7+……)=πx/4+∑[(-1)^n][x^(2n+2)]/(2n+1) [n=0->+∞]

追问

看着过程没问题，但是答案是∑ x^(2n-1)(n=1,2,3……）我想问能不能直接用arctanx的展开式做

追答

∑ x^(2n-1)？
答案有问题吧？取x=1/2,∑ x^(2n-1)=x/(1-x²)=2/3
f(1/2)=(1/2)arctan3
arctan3=4/3 ??
直接用arctanx的展开能不能做我不知道，不过那样做的话应该会很麻烦。计算量很大