一个关于常系数非齐次线性微分方程的问题
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一般来说右端如果具有如下形式：
(x^n)sin(kx)e^(rx)
则特解可设为(A0+A1*x^1+A2*x^2+...+Anx^n)sin(kx)*e^(rx)+(B0+B1*x^1+B2*x^2+...+Bnx^n)cos(kx)*e^(rx)
如果rk等于一个齐次方程的特征值，着看这个特征值是几(假设为m重)重根，然后上述特解前再乘上x^m
比如这个题，齐次特征方程 a^2 - 1=0 a1=1 , a2=-1
x(sinx)^2 = 0.5x(2(sinx)^2 - 1) + 0.5x = -0.5x*cos2x + 0.5x
由线性可加性，分别求y''-y= -0.5x*cos2x (1)和 y''-y=0.5x(2) 的特解
(1)中k=2, r=0 , rk=0不等于任何特征根，(2)中k=0,r=0,rk=0,同(1)，
所以两个方程特解分别为
(A0+A1x)sin2x+(B0+B1x)cos2x 和 C0+C1x
多数情况可以不要A0,B0,C0部分
改写为A1xsin2x+B1xcos2x 和 C1x
(x^n)sin(kx)e^(rx)
则特解可设为(A0+A1*x^1+A2*x^2+...+Anx^n)sin(kx)*e^(rx)+(B0+B1*x^1+B2*x^2+...+Bnx^n)cos(kx)*e^(rx)
如果rk等于一个齐次方程的特征值，着看这个特征值是几(假设为m重)重根，然后上述特解前再乘上x^m
比如这个题，齐次特征方程 a^2 - 1=0 a1=1 , a2=-1
x(sinx)^2 = 0.5x(2(sinx)^2 - 1) + 0.5x = -0.5x*cos2x + 0.5x
由线性可加性，分别求y''-y= -0.5x*cos2x (1)和 y''-y=0.5x(2) 的特解
(1)中k=2, r=0 , rk=0不等于任何特征根，(2)中k=0,r=0,rk=0,同(1)，
所以两个方程特解分别为
(A0+A1x)sin2x+(B0+B1x)cos2x 和 C0+C1x
多数情况可以不要A0,B0,C0部分
改写为A1xsin2x+B1xcos2x 和 C1x
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2025-02-09 广告
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